Изменения

:Распишем <tex>A(s)B(s)</tex> по формуле произведения рядов: <tex>A(s)B(s) = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)s + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) s^2 + \dots</tex>. Заметим, что условие <tex>A(s)B(s) = 1</tex> выполнено только в том случае, если <tex>a_0 b_0 = 1</tex>, а все остальные слагаемые полученного ряда равны нулю.

:Докажем по индукции, что такой ряд <tex>B</tex> единственен. Нам известно, что <tex>b_0 = \dfrac{1}{a_0}</tex>. Пусть теперь все коэффициенты ряда <tex>B</tex> вплоть до степени <tex>n - 1</tex> однозначно определены. Коэффициент при <tex>s^n</tex> определяется из условия <tex>a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \dots + a_n b_0 = 0</tex>. Это линейное уравнение на <tex>b_n</tex>, причем коэффициент <tex>a_0</tex> при <tex>b_n</tex> отличен от нуля. Такое уравнение имеет единственное решение.

}}