Редактирование: Арифметические действия с числовыми рядами

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
+
{{В разработке}}
  
 
Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки - от этого результат не изменится.
 
Имея дело с суммой конечного числа слагаемых, можно менять слагаемые местами и расставлять скобки - от этого результат не изменится.
Строка 30: Строка 30:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n \geq 0</tex> сходится к <tex>A</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)} = A</tex>
+
Пусть ряд из <tex>a_n \le 0</tex> сходится к <tex>A</tex>. Тогда <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{\varphi(n)} = A</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>B_n = a_{\varphi(1)} + a_{\varphi(2)} + \dots + a_{\varphi(n)}, \qquad m_n = \max\limits_{i = 1..n}{\varphi(i)}</tex>
 
<tex>B_n = a_{\varphi(1)} + a_{\varphi(2)} + \dots + a_{\varphi(n)}, \qquad m_n = \max\limits_{i = 1..n}{\varphi(i)}</tex>
Строка 82: Строка 82:
 
:<tex>\frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac {dx}x \le \frac 1k - \frac 1{k + 1} = \frac 1{k(k + 1)} \le \frac 1{k^2}</tex>
 
:<tex>\frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac {dx}x \le \frac 1k - \frac 1{k + 1} = \frac 1{k(k + 1)} \le \frac 1{k^2}</tex>
  
Итак, ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left(\frac1k - \int_k^{k + 1} \frac{dx}x \right)</tex> является положительным и мажорируется сходящимся рядом <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac 1{k^2}</tex>. Значит, этот ряд сходится.
+
Итак, ряд <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty}</tex> является положительным и мажорируется сходящимся рядом <tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac 1{k^2}</tex>. Значит, этот ряд сходится.
  
 
В выражении <tex>(*)</tex> при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая <tex>C = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left ( \frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x} \right )</tex>
 
В выражении <tex>(*)</tex> при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая <tex>C = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left ( \frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x} \right )</tex>
Строка 105: Строка 105:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Сумма этого ряда равна <tex>\frac{\ln 2}{2}</tex>
+
Сумма это ряда равна <tex>\frac{\ln 2}{2}</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
 
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right )</tex>
+
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k+2} - \frac 1{4k + 4} \right )</tex>
  
 
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
 
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right ) = \left ( 1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n+1} \right ) - \left ( \frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{4n+4} \right ) =</tex>
+
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k+2} - \frac 1{4k + 4} \right ) = \left ( 1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n+1} \right ) - \left ( \frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{4n+4} \right ) =</tex>
 
:<tex>= H_{2n} - \frac 12 H_n - \frac 12 H_{2n+2} = \frac 12 \left ( H_{2n} - H_n - \frac 1{2n+1} - \frac 1{2n+2} \right ) \rightarrow \frac{\ln 2}2</tex>
 
:<tex>= H_{2n} - \frac 12 H_n - \frac 12 H_{2n+2} = \frac 12 \left ( H_{2n} - H_n - \frac 1{2n+1} - \frac 1{2n+2} \right ) \rightarrow \frac{\ln 2}2</tex>
 
}}
 
}}
Строка 118: Строка 118:
 
Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.
 
Две суммы из конечного числа слагаемых перемножаются почленно. Для бесконечного числа слагаемых необходимо формализовать процесс перемножения.
  
Организуем бесконечную матрицу из чисел <tex>c_{ij} = a_i \cdot b_j</tex>. Пусть <tex>\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^2</tex> {{---}} правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).
+
Организуем бесконечную матрицу из чисел <tex>c_{ij} = a_i \cdot b_j</tex>. Пусть <tex>\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^2</tex> - правило обхода матрицы, по которому матрицу можно развернуть в строку, то есть ряд, сумму которого можно посчитать (при сходимости такого ряда).
  
 
Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу <tex>\varphi</tex>.
 
Если сумма такого ряда равна произведению сумм исходных рядов, то говорят, что два ряда можно перемножить по способу <tex>\varphi</tex>.
Строка 124: Строка 124:
 
Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:
 
Важнейший способ перемножения - способ Коши произведения по диагонали:
 
:<tex>\alpha_k = \sum\limits_{j = 0}^{k} a_j b_{k - j}</tex>
 
:<tex>\alpha_k = \sum\limits_{j = 0}^{k} a_j b_{k - j}</tex>
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Пусть положительные ряды <tex>a_n, b_n</tex> абсолютно сходятся и имеют суммы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Тогда их можно перемножить любым способом <tex>\varphi</tex>.
 
|proof=
 
Используя положительность рядов, ведём рассуждения для достаточно большого количества слагаемых частичных сумм.
 
 
Так как в любую наперёд заданную клетку мы попадём, то ясно, что через некоторое количество шагов все клетки некоторого левого верхнего квадрата уже будут пройдены.
 
 
Сумма элементов квадрата <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_k \cdot \sum\limits_{k = 1}^n b_k</tex> не превосходит частичной суммы, которая, в свою очередь не превосходит суммы элементов окаймляющего квадрата. Но, если устремить <tex>n</tex> к бесконечности, то частичная сумма ряда по принципу сжатой переменной стремится к <tex>AB</tex>, что и требовалось доказать.
 
}}
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть ряды из <tex>a_n, b_n</tex> абсолютно сходятся и имеют суммы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Тогда их можно перемножить любым способом <tex>\varphi</tex>.
 
Пусть ряды из <tex>a_n, b_n</tex> абсолютно сходятся и имеют суммы <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. Тогда их можно перемножить любым способом <tex>\varphi</tex>.
|proof=
 
Определим <tex>A'</tex> как сумму вспомогательного ряда <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_n^+</tex>, <tex>A''</tex> как сумму <tex>\sum\limits_{k = 1}^n a_n^-</tex>. Аналогично определяем <tex>B'</tex> и <tex>B''</tex>.
 
 
По определению, <tex>AB = (A' - A'') \times (B' - B'') = A'B' - A''B' - B''A' + A''B''</tex>. Раскладывая ряд по линейности на сумму положительных произведений вспомогательных рядов и приходим к искомому утверждению.
 
}}
 
 
При перемножении рядов по правилу Коши, можно ослабить требования на сходимость рядов. Установим следующую теорему:
 
 
{{Теорема
 
|about=
 
Мертенс
 
|statement=
 
Пусть ряд из <tex>a_n</tex> — абсолютно сходящийся, а ряд из <tex>b_n</tex> — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
 
|proof=
 
Для удобства нумеруем слагаемые рядов <tex>a_n</tex> и <tex>b_n</tex>, начиная с нуля.
 
 
Пусть <tex>\alpha_n = \sum\limits_{k = 0}^{n} a_kb_{n -k}</tex>. Тогда сумма <tex>\alpha_0 + \alpha_1 + \dots + \alpha_n</tex> — частичная сумма произведения рядов по правилу Коши.
 
 
:<tex>D_n = \sum\limits_{k = 0}^{n} \sum\limits_{j = 0}^{k} a_jb_{k-j} = \sum\limits_{j = 0}^{n}\sum\limits_{k=j}^n a_j b_{k-j}=</tex>
 
:<tex>= \sum\limits_{j = 0}^n a_j \cdot \sum\limits_{k = j}^n b_{k - j} = \sum\limits_{j = 0}^n a_j \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n - j} b_k = \sum\limits_{j = 0}^n a_j B_{n-j}</tex>
 
:<tex>B_n \longrightarrow B \Rightarrow B_n = B + \beta_n, \ \beta_n \longrightarrow 0</tex>
 
:<tex>D_n = \sum\limits_{j = 0}^n a_j (B + \beta_{n - j}) = B \sum\limits_{j = 0}^n a_j + \sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j}</tex>
 
Если доказать, что <tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j} \longrightarrow 0</tex>, то из последнего равенства получается искомое.
 
 
:<tex>\beta_n \longrightarrow \forall \varepsilon > 0 \qquad \exists N: \forall n \ge N \qquad |\beta_n| \le \varepsilon</tex>
 
Перебросив индексы в сумме, получаем:
 
:<tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_{n-j}\beta_j \le \left |\sum\limits_{j = 0}^n a_{n-j}\beta_j \right | \le \left |\sum\limits_{j = 0}^N a_{n-j}\beta_j \right | + \left |\sum\limits_{j = N + 1}^n a_{n-j}\beta_j \right |</tex>
 
Обозначим два слагаемых в последней сумме как <tex>\Sigma_1</tex> и <tex>\Sigma_2</tex>.
 
Последовательность <tex>\beta_n</tex> — бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом <tex>M</tex>. Тогда
 
:<tex>\Sigma_1 \le \sum\limits_{j = 0}^{N} |a_{n-j}| |\beta_j| \le M \sum\limits_{j = 0}^N |a_{n - j}| = M \sum\limits_{j = n - N}^n |a_j|</tex>.
 
Так как ряд <tex>a_n</tex> абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при <tex>n \longrightarrow \infty</tex>. Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт <tex>\varepsilon</tex>.
 
Итого, <tex>\Sigma_1 \le M\varepsilon \qquad \forall n \ge N_1 \ge N</tex>.
 
:<tex>\Sigma_2 \le \sum\limits_{j = N + 1}^n |a_{n-j}||\beta_j| \le \varepsilon \sum\limits_{j = 0}^{\infty} |a_j|</tex>.
 
:<tex>\left | \sum\limits_{j = 0}^n a_{n - j}\beta_j \right | \le T \cdot \varepsilon</tex>, следовательно, сумма стремится к нулю.
 
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: