Редактирование: Арифметические действия с числовыми рядами

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 +
{{В разработке}}
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
  
Строка 108: Строка 109:
 
|proof=
 
|proof=
 
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
 
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right )</tex>
+
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k+2} - \frac 1{4k + 4} \right )</tex>
  
 
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
 
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right ) = \left ( 1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n+1} \right ) - \left ( \frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{4n+4} \right ) =</tex>
+
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k+2} - \frac 1{4k + 4} \right ) = \left ( 1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n+1} \right ) - \left ( \frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{4n+4} \right ) =</tex>
 
:<tex>= H_{2n} - \frac 12 H_n - \frac 12 H_{2n+2} = \frac 12 \left ( H_{2n} - H_n - \frac 1{2n+1} - \frac 1{2n+2} \right ) \rightarrow \frac{\ln 2}2</tex>
 
:<tex>= H_{2n} - \frac 12 H_n - \frac 12 H_{2n+2} = \frac 12 \left ( H_{2n} - H_n - \frac 1{2n+1} - \frac 1{2n+2} \right ) \rightarrow \frac{\ln 2}2</tex>
 
}}
 
}}
Строка 162: Строка 163:
 
:<tex>D_n = \sum\limits_{j = 0}^n a_j (B + \beta_{n - j}) = B \sum\limits_{j = 0}^n a_j + \sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j}</tex>
 
:<tex>D_n = \sum\limits_{j = 0}^n a_j (B + \beta_{n - j}) = B \sum\limits_{j = 0}^n a_j + \sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j}</tex>
 
Если доказать, что <tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j} \longrightarrow 0</tex>, то из последнего равенства получается искомое.
 
Если доказать, что <tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_j\beta_{n - j} \longrightarrow 0</tex>, то из последнего равенства получается искомое.
 
:<tex>\beta_n \longrightarrow \forall \varepsilon > 0 \qquad \exists N: \forall n \ge N \qquad |\beta_n| \le \varepsilon</tex>
 
Перебросив индексы в сумме, получаем:
 
:<tex>\sum\limits_{j = 0}^n a_{n-j}\beta_j \le \left |\sum\limits_{j = 0}^n a_{n-j}\beta_j \right | \le \left |\sum\limits_{j = 0}^N a_{n-j}\beta_j \right | + \left |\sum\limits_{j = N + 1}^n a_{n-j}\beta_j \right |</tex>
 
Обозначим два слагаемых в последней сумме как <tex>\Sigma_1</tex> и <tex>\Sigma_2</tex>.
 
Последовательность <tex>\beta_n</tex> — бесконечно малая, значит она ограничена, пусть числом <tex>M</tex>. Тогда
 
:<tex>\Sigma_1 \le \sum\limits_{j = 0}^{N} |a_{n-j}| |\beta_j| \le M \sum\limits_{j = 0}^N |a_{n - j}| = M \sum\limits_{j = n - N}^n |a_j|</tex>.
 
Так как ряд <tex>a_n</tex> абсолютно сходится, то сумма стремится к нулю при <tex>n \longrightarrow \infty</tex>. Значит, начиная с какого-то номера она не превзойдёт <tex>\varepsilon</tex>.
 
Итого, <tex>\Sigma_1 \le M\varepsilon \qquad \forall n \ge N_1 \ge N</tex>.
 
:<tex>\Sigma_2 \le \sum\limits_{j = N + 1}^n |a_{n-j}||\beta_j| \le \varepsilon \sum\limits_{j = 0}^{\infty} |a_j|</tex>.
 
:<tex>\left | \sum\limits_{j = 0}^n a_{n - j}\beta_j \right | \le T \cdot \varepsilon</tex>, следовательно, сумма стремится к нулю.
 
 
}}
 
}}

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: