Арифметическое кодирование — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Оформление второго псевдокода в виде функции)
(Оценка длины кодового слова)
Строка 123: Строка 123:
  
  
||proof=Размер сообщения <tex> L = \prod\limits_{i=1}^l p_{fi} = \prod\limits_{i=1}^n p_{i}^{f_{i}}</tex> (<tex>l</tex> {{---}} длина текста; <tex>n</tex> {{---}} размер алфавита; <tex>f_i</tex> {{---}} частота встречаемости символа; <tex>p_i</tex> {{---}} вероятность вхождения символа)
+
||proof=Если <tex>l</tex> {{---}} длина текста; <tex>n</tex> {{---}} размер алфавита; <tex>f_i</tex> {{---}} частота встречаемости символа; <tex>p_i</tex> {{---}} вероятность вхождения символа, тогда размер сообщения <tex> L = \prod\limits_{i=1}^l p_{fi} = \prod\limits_{i=1}^n p_{i}^{f_{i}}</tex>
  
 
Число бит в закодированном тексте: <tex>\log_2 L = \sum\limits_{i=1}^n f_i\cdot \log_2 p_i =  l \cdot \sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot \log_2 p_i = -l \cdot H(p_1...p_n)</tex>
 
Число бит в закодированном тексте: <tex>\log_2 L = \sum\limits_{i=1}^n f_i\cdot \log_2 p_i =  l \cdot \sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot \log_2 p_i = -l \cdot H(p_1...p_n)</tex>

Версия 15:48, 17 июня 2016

Арифметическое кодирование (англ. Arithmetic coding) — алгоритм сжатия информации без потерь, который при кодировании ставит в соответствие тексту вещественное число из отрезка [math][0; 1)[/math]. Данный метод, как и алгоритм Хаффмана, является энтропийным, т.е. длина кода конкретного символа зависит от частоты встречаемости этого символа в тексте. Арифметическое кодирование показывает более высокие результаты сжатия, чем алгоритм Хаффмана, для данных с неравномерными распределениями вероятностей кодируемых символов. Кроме того, при арифметическом кодировании каждый символ кодируется нецелым числом бит, что эффективнее кода Хаффмана (теоретически, символу [math]a[/math] с вероятностью появления [math]p(a)[/math] допустимо ставить в соответствие код длины [math]-\log_2 p(a)[/math], следовательно, при кодировании алгоритмом Хаффмана это достигается только с вероятностями, равными обратным степеням двойки).

Принцип действия

Кодирование

На вход алгоритму передаются текст для кодирования и список частот встречаемости символов.

  1. Рассмотрим отрезок [math][0; 1)[/math] на координатной прямой.
  2. Поставим каждому символу текста в соответствие отрезок, длина которого равна частоте его появления.
  3. Считаем символ из входного потока и рассмотрим отрезок, соответствующий этому символу. Разделим этот отрезок на части, пропорциональные частотам встречаемости символов.
  4. Повторим пункт (3) до конца входного потока.
  5. Выберем любое число из получившегося отрезка, которое и будет результатом арифметического кодирования.
double ArithmeticCoding (s: string):
    left = 0
    right = 1
    for i = 0 to length(s)-1
        read(s[i])
        newRight = left + (right - left) * segment[symb].right  // segment[symb] — подотрезок отрезка [0; 1), соответствующий символу symb  
        newLeft = left + (right - left) * segment[symb].left
        left = newLeft
        right = newRight
    return (left + right) / 2

Декодирование

Алгоритм по вещественному числу восстанавливает исходный текст.

  1. Выберем на отрезке [math][0; 1)[/math], разделенном на части, длины которых равны вероятностям появления символов в тексте, подотрезок, содержащий входное вещественное число. Символ, соответствующий этому подотрезку, дописываем в ответ.
  2. Нормируем подотрезок и вещественное число.
  3. Повторим пункты 1—2 до тех пор, пока не получим ответ.

string ArithmeticCoding (code: double):
    s = ""
    for i = 1 to length
        for j = 1 to n
            if code >= segment[j].left and code < segment[j].right
                s = s + segment[j].character
                code = (code – segment[j].left) / (segment[j].right – segment[j].left)
                break
    return s

Замечание: кодировщику и декодировщику должно быть известно, когда завершать работу. Для этого можно передавать в качестве аргумента длину текста или символ конца файла, после которого процесс должен быть остановлен.

Для оптимизации размера кода необходимо выбрать из окончательного диапазона число, содержащее наименьшее количество знаков в двоичной записи.

Пример работы

Рассмотрим в качестве примера строку [math]abacaba[/math]

Кодирование

Символ Частота появления

[math]a[/math]

[math]0.571429[/math]

[math]b[/math]

[math]0.285714[/math]

[math]c[/math]

[math]0.142857[/math]

Пример работы кодировщика
Считанный символ Левая граница отрезка Правая граница отрезка

[math]0[/math]

[math]1[/math]

[math]a[/math]

[math]0[/math]

[math]0.571429[/math]

[math]b[/math]

[math]0.326531[/math]

[math]0.489796[/math]

[math]a[/math]

[math]0.326531[/math]

[math]0.419825[/math]

[math]c[/math]

[math]0.406497[/math]

[math]0.419825[/math]

[math]a[/math]

[math]0.406497[/math]

[math]0.414113[/math]

[math]b[/math]

[math]0.410849[/math]

[math]0.413025[/math]

[math]a[/math]

[math]0.410849[/math]

[math]0.412093[/math]

Код: [math]0.411471[/math]

Декодирование

Код: [math]0.411471[/math]

Пример работы декодировщика
Декодируемый символ Код

[math]a[/math]

[math]0.411471[/math]

[math]b[/math]

[math]0.720074[/math]

[math]a[/math]

[math]0.520259[/math]

[math]c[/math]

[math]0.910454[/math]

[math]a[/math]

[math]0.373178[/math]

[math]b[/math]

[math]0.653061[/math]

[math]a[/math]

[math]0.285714[/math]

Замечание: при декодировании текста можно не только нормализовывать рабочий отрезок и текущий код, но и уменьшать рабочий отрезок (аналогично кодированию), не изменяя значение кода.

Декодирование (второй способ)

Код: [math]0.411471[/math]

Пример работы декодировщика (второй способ)
Декодируемый символ Границы отрезка

[math]a[/math]

[math]0[/math]

[math]0.571429[/math]

[math]0.857143[/math]

[math]1[/math]

[math]b[/math]

[math]0[/math]

[math]0.326531[/math]

[math]0.489796 [/math]

[math]0.571429[/math]

[math]a[/math]

[math]0.326531 [/math]

[math]0.419825 [/math]

[math]0.466472 [/math]

[math]0.489796 [/math]

[math]c[/math]

[math]0.326531[/math]

[math]0.379842[/math]

[math]0.406497[/math]

[math]0.419825[/math]

[math]a[/math]

[math]0.406497[/math]

[math]0.414113[/math]

[math]0.417921 [/math]

[math]0.419825[/math]

[math]b[/math]

[math]0.406497[/math]

[math]0.410849[/math]

[math]0.413025[/math]

[math]0.414113[/math]

[math]a[/math]

[math]0.410849[/math]

[math]0.412093[/math]

[math]0.412714[/math]

[math]0.413025[/math]

Оценка длины кодового слова

Теорема:
При арифметическом кодировании длина кодового слова не превышает энтропии исходного текста.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Если [math]l[/math] — длина текста; [math]n[/math] — размер алфавита; [math]f_i[/math] — частота встречаемости символа; [math]p_i[/math] — вероятность вхождения символа, тогда размер сообщения [math] L = \prod\limits_{i=1}^l p_{fi} = \prod\limits_{i=1}^n p_{i}^{f_{i}}[/math]

Число бит в закодированном тексте: [math]\log_2 L = \sum\limits_{i=1}^n f_i\cdot \log_2 p_i = l \cdot \sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot \log_2 p_i = -l \cdot H(p_1...p_n)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации