Изменения

Перейти к: навигация, поиск
м
Нет описания правки
{{Определение
|id=def1.
|definition=Пусть у нас есть последовательностьПоследовательность, в которой отношение двух соседних членов которой равно отношениюдвух многочленов одинаковой <tex>A(n)</tex> степени. Если же степени многочленов больше нуля<tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, то соответствующую последовательность называют называется '''гипергеометрической'''(англ. ''hypergeometric sequence'').
}}
|id=lemma1.
|statement=
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \cdotsldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1 \cdot n^{k-1}+ \cdots ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 \cdot n^{k-1}+ \cdots ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cAc \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.<br>'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз. 
|proof=
Утверждение Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С другой стороны, из определения существования предела<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Предел числовой последовательности]</ref> на бесконечности следует, что он равен некоторому <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim \limits_{n \fracto \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_lim\limits_{n \to \infty} { ( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot \ln n )}</tex>.
Для доказательства существования предела применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого  Перепишем отношение <tex>&epsilon; > 0\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> существует такой номер в виде <tex>N\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex> где
<tex>|f(x)=\ln {a_cfrac{n1 +m}} - \ln {a_n} - (nalpha_1 \cdot x +m)\ln A ldots + n\ln A - (alpha_k \alpha_1 - cdot x^k}{1 + \beta_1)\ln(ncdot x +m)\ldots +(\alpha_1-beta_k \beta_1)\ln n| < &epsilon;cdot x^k}</tex>,
илиПрологарифмировав отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
<tex>|\ln {a_{n+m}1} - \ln {a_n} - m= \ln A - (+ \alpha_1 - ln f\beta_1)left(\ln(cfrac{1}{n+m)+(\alpha_1-}\beta_1right)\ln n| < &epsilon;</tex>.
Перепишем отношение Посмотрим на функцию <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в видеряд в точке <tex>0</tex>:
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}f(x)=A\frac{1+(\alpha_1 n- \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^{-1}2 +\ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>.Это разложение - самый существенный элемент доказательства..+Именно коэффициент <tex>\alpha_k n^{alpha_1 -k}}{1+\beta_1 </tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{-1}+...+\beta_k n^{alpha_1-k}}=Af(\frac{1beta_1}{n})</tex>,в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем
где<tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots</tex>
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x)=\frac{1+- (\alpha_1 x+...+- \alpha_k x^k}{1+beta_1) \beta_1 cdot x+...+|<C \beta_k cdot x^k}2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex> получаем систему <tex>(*)</tex>
Прологарифмировав отношение <tex>\fracbegin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1}- \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{a_nn}\right| </tex>C \cdot \cfrac{1}{n^2}, получаем \\
<tex> \left| \ln a_{n+12} - \ln a_n = a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+ 1} \right| < C \ln f(cdot \fraccfrac{1}{(n+1)^2})</tex>., \\
Посмотрим на функцию <tex> \ldots \\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex>, определенной формулой (4.8), в ряд в точке <tex>0</tex>:
<tex>f(x)=1+( \alpha_1-left| \beta_1)xln a_{n+\gamma x^2+...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение m} - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>ln a_{n^{\alpha_1+m-\beta_11}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем <tex>- \ln f(x)=A - (\alpha_1-\beta_1)x+\tildecdot \cfrac{\gamma1}x^2{n+...m} \right| </tex>. Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln fcdot \cfrac{1}{(xn+m) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>}. В частности, если N достаточно велико, то <tex>&forall; n>N\\ \end{cases}\end{equation*}</tex>
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+1m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \ln {1(n + m)}{+ (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n}|<C \frac{1}{n^2}&epsilon; </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex>,и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
<tex>\left|\ln a_{n+2m} - \ln a_{n+1} a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}cdot ( \ln {(n+1m)}|<C - \frac{1}{(ln n+1)^2}\right| =</tex>,
<tex>........= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex>
<tex>|- (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\ln a_limits_{k=0}^{n+m-1} - \ln a_cfrac{1}{n+m-1k} - \ln A - + (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \sum\limits_{1k=0}^{n+m-1}|<C \fraccfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)^2}- \ln n) \Bigg| \leqslant</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (4.6\alpha_1 - \beta_1) можно оценить с помощью системы \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (4.10\alpha_1 - \beta_1) и неравенства треугольника:\cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +</tex>
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| =ldots</tex>
<tex>= + \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + - \ln a_A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n + m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m - 1} - \cdots cfrac{1}{n+ k} - \ln a_{(n + 1m)} - + \ln a_n - m n \right| \ln A - leqslant</tex>
<tex> - (\alpha_1 - leqslant C \cdot \beta_1) left(\sum_cfrac{k=01}{n^2} + \cfrac{1}{m-(n+1)^2} + \ldots + \fraccfrac{1}{(n+km-1)^2} \right) + (\left| \alpha_1 - \beta_1) \sum_right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - + \ln n)\right| \le</tex>.
Поскольку ряд <tex>\le | sum\ln a_limits_{n+k=1} - ^{\ln a_n - infty} \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{nk^2} | + | \ln a_{</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n+2} - </tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\ln a_cfrac{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1[x]}{</tex> на отрезке <tex>[n, n+1}| + \cdots + m]</tex>,
<tex>+ [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}350px| + | \alpha_1 - \beta_1 thumb| right| График функции <tex>y = \sum_cfrac{k=0}^{m-1} \frac{1[x]}{</tex> на отрезке <tex>[n+k} - \ln {, n+m} + \ln n | \le]</tex>]]
<tex>\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \sum_cfrac{k1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y =\cfrac{1}^{\inftyx-1} </tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\fraccfrac {1}{k^2x}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших равна <tex>\ln {(n+ m)} - \ln {n}</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>y = \fraccfrac{1}{[x]-1}</tex> на отрезке равна <tex>[\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m]-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex>,
[[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|center|График функции <tex>y = \fracleft| \ln {\cfrac {n+m-1}{[x]n+m}</tex> на отрезке <tex>[- \ln {\cfrac {n, -1}{n + m]}}} \right| = </tex>]]
<tex>= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex>
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>left| \ln {n+m-1} - \ln {n - 1}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|left(\ln {n+m-1} - \ln cfrac{n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln nright)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}right| < |C \ln {1 - \frac{1}{n}}| < C cdot \fraccfrac{1}{n}</tex>.
}}
== Примеры =='''Замечание:Пример.''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. ДействительноРассмотрим производящую функцию для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] <tex>A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots </tex> Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, умножив последовательность получим <tex>a_ns \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots = A(s) - 1</tex> , что дает нам квадратное уравнение на произвольную постоянную производящую функцию <tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,</tex>d  откуда <tex> 0A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}</tex> Второй корень уравнения отбрасывается, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа так как <tex>c\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> для которой увеличивается в содержит отрицательные степени <tex>ds</tex> раз Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. Согласно биному Ньютона <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</ref>
<tex>a_n =\cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex> откуда, умножая на числитель и знаменатель на <tex>n!</tex> и сокращая на <tex>2^{n + 1}</tex>, получаем <tex>a_n = Примеры =\cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} =\cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex> '''Пример.''' Для Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем:
<tex>\fraccfrac{c_{n+1}}{c_n}=\fraccfrac{4n4 \cdot n +2}{n+2}=4\fraccdot \cfrac{n+\fraccfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1-\fraccfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccdot \cfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {\left(\fraccfrac{s}{a}\right)^2} - \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot \left(\fraccfrac{s}{a}\right)^3+...\ldots \right)</tex>.
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае , начиная с некоторого номера , все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \fraccdot \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)...\cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n!\cdot {\alpha}^n}:</tex>
<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fraccfrac{1}{a} \fraccdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s4 \cdot s)^{\fracdfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
== См. также ==
* [[Производящая функция]]
* [[Числа Каталана]]
==Примечания==
74
правки

Навигация