Изменения

Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>A(n)</tex> степени <tex>nk</tex>, где <tex>n k > 0</tex>и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической''' (англ. ''hypergeometric sequence'').

Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex dpi="180">\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 \cdot n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cAc \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.<br>'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз. 

Утверждение Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С другой стороны, из определения существования предела<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Предел числовой последовательности]</ref> на бесконечности следует, что он равен некоторому <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim_lim\limits_{n \to \infty} {\fraccfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_lim\limits_{n \to \infty} { ( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot \ln n )}</tex>. Для доказательства существования предела применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>.  Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде

Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>&epsilon; > 0</tex> существует такой номер <tex>N\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>

Прологарифмировав отношение <tex>|\ln cfrac{a_{n+m1}} - \ln {a_n} - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \ln {(n+m)} + (\alpha_1-\beta_1) \ln n| < &epsilon; (*)</tex>, получаем

Перепишем отношение <tex>\frac{ln a_{n+1}- \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{a_nn}\right)</tex> в виде.

Посмотрим на функцию <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1} + \ldots + \alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1} + \ldots + \beta_k n^{-k}}=Afln f(\frac{1}{n}x)</tex>,. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:

где<tex>f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x + \gamma \cdot x^2 + \ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем  <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+\tilde{\gamma} \cdot x^2 + \ldots</tex>  Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|<C \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex> получаем систему <tex>(*)</tex>

<tex>f(x)=\begin{equation*} \begin{cases} \left| \fracln a_{n+1+} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 x + - \beta_1) \ldots + cdot \alpha_k x^kcfrac{1}{1+n} \beta_1 x + right| < C \ldots + cdot \beta_k xcfrac{1}{n^k2}</tex>, \\

Прологарифмировав отношение <tex> \left| \fracln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{a_nn+1}\right| </tex>C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, получаем \\

<tex> \ln a_{n+1} - ldots \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})</tex>.

Посмотрим на функцию <tex> \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln fA - (x\alpha_1 - \beta_1)\cdot \cfrac{1}{n+m} \right| </tex>C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0\\ \end{cases}\end{equation*}</tex>:

Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>f|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(xn + m)=1 } + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + cdot \ldotsln n| < &epsilon; </tex> для некоторой константы можно оценить с помощью системы <tex>\gamma(*)</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент и неравенства треугольника<texref>\alpha_1 - \beta_1<[https:/tex>(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотикеru.wikipedia. Для логарифма функции <tex>forg/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</texref> имеем :

<tex>\left| \ln a_{n+m} - \ln f(x)=a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1-\beta_1)x+\tildecdot ( \ln {(n+m)} - \gamma}x^2 + ln n) \ldotsright| =</tex>

Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>= |\ln f(x) = (a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \alpha_1 ln a_{n + m - 1} - \ldots + \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; ln a_{n>N+ 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex>

<tex>|- (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \ln a_cfrac{1}{n+1k} - \ln a_n - \ln A - + (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \sum\limits_{1k=0}^{nm-1}|<C \fraccfrac{1}{n^2+k} - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot (\ln {(n+m)}- \ln n) \Bigg| \leqslant</tex>,

<tex>\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \cfrac{1}{n+1}\right|<C \frac{1}{(n+1)^2}</tex>,

<tex>+ \left|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1}\cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)}+ \ln n \right|\leqslant</tex> <tex>\leqslant C \fraccdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|</tex>. Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex>можно сделать сколь угодно малым.Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,  [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|right|График функции <tex>y = \cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n + m]</tex>]]  (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex>

Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>(*)= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+m} - \ln {\cfrac {n-1}{n}}} \right| = </tex> можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:

<tex>= \left| \ln a_{\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln a_n - m {\ln A - left(\alpha_1 1 - \beta_1)( \ln cfrac{1}{(n+m}\right)} - \ln n)right| =<</tex>

<tex>= < \left| \ln a_{n+m} \left(1 - \ln a_cfrac{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + right)} \right| < C \cdot \ln a_cfrac{1}{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - </tex>.}}

<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)Примеры =='''Пример.''' Рассмотрим производящую функцию для [[Числа Каталана| \le</tex>чисел Каталана]]

<tex>\le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1s) \frac{= 1}{n} | + | \ln a_{ns +2} - \ln a_{ncdot s^2 +1} - 5 \ln A - (cdot s^3 + \alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| +ldots </tex>

Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим <tex>s \cdot A^2(s) = s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots= A(s) - 1</tex>, что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию <tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,</tex>

<tex>\le CA(s) = \fraccfrac {1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \ldots + - \fracsqrt {1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum4 \limits_{k=0cdot s}^{m-1} \frac{1}{n+k} - 2 \ln {(n+m)cdot s} + \ln n |</tex>.

Поскольку ряд Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\sumcfrac {1 + \limits_sqrt {k=1}^{- 4 \inftycdot s} \frac{1}{k^2\cdot s}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>= \fraccfrac {1}{[x]s}+ \ldots</tex> на отрезке содержит отрицательные степени <tex>[n, n+m]s</tex>,

Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LIЧисла Каталана|чисел Каталана]].jpg|350px|thumb|center|График функции Согласно биному Ньютона <texref>y = \frac{1}{[x]}<https://ru.wikipedia.org/wiki/tex> на отрезке <tex>[n, n + m%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</texref>]]

(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>откуда, наибольшее целое число, не превосходящее умножая на числитель и знаменатель на <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}n!</tex> и сокращая на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>y = \frac2^{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| = | \ln {(1 - \frac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \frac{1}{n})}| < |\ln {(1 - \frac{1}{n})}| < C \frac{1}{n}</tex>.}}получаем

'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n= \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз

== Примеры =='''Пример.''' Для Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем:

<tex>\fraccfrac{c_{n+1}}{c_n}=\fraccfrac{4n4 \cdot n +2}{n+2}=4\fraccdot \cfrac{n+\fraccfrac{1}{2}}{n+2}</tex>

Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.

<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1-\fraccfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccdot \cfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {\left(\fraccfrac{s}{a}\right)^2} - \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot \left(\fraccfrac{s}{a}\right)^3 + \ldots\right)</tex>.

Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае , начиная с некоторого номера , все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \fraccdot \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n!\cdot {\alpha}^n}:</tex>

<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fraccfrac{1}{a} \fraccdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>

Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s4 \cdot s)^{\fracdfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].