Изменения

|definition=Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>A(n)</tex> степени <tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической'''(англ. 'Гипергеометрической'hypergeometric sequence'' называется последовательность, степени многочленов которой больше нуля).

|statement=Пусть последовательность <tex>a_0,a_1, \ldots</tex>,... положительных чисел такова, что<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_{n}a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1nalpha_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1nbeta_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1\ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n\sim cA^nn^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.|proof=Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>.<br>Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n</tex>.<br>Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого некоторой постоянной <tex>\epsilonc>0</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m<br><tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>, <br>или<br><tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>.<br>Перепишем отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде<br><tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...+\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})</tex>,

<br><tex>f(x)=\fraccfrac{1+\alpha_1 \cdot x+...\ldots +\alpha_k \cdot x^k}{1+\beta_1 \cdot x+...\ldots +\beta_k \cdot x^k}</tex><br>Прологарифмировав (4.7), получаем <br>отношение <tex>\ln cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем  <tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\fraccfrac{1}{n}\right)</tex>.<br>Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f, определенной формулой (4.8), </tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:<br><tex>f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)\cdot x+\gamma \cdot x^2+...\ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремылеммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции <tex>f </tex> имеем  <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)\cdot x+\tilde{\gamma}\cdot x^2+...\ldots</tex>.  Поэтому для некоторой постоянной <tex>C </tex> при достаточно маленьком x имеем <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) = - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot x|<CxC \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N </tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex><br>получаем систему <tex>(*)</tex> <tex>\begin{equation*} \begin{cases} \left|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \cfrac{1}{n}\right|<C \fraccdot \cfrac{1}{n^2}</tex>,, \\<br><tex> \left|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \cfrac{1}{n+1}\right|<C \fraccdot \cfrac{1}{(n+1)^2}</tex>,\\<br><tex>........</tex> \ldots \\<br><tex> \left|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \cfrac{1}{n+m}\right|<C \fraccdot \cfrac{1}{(n+m)^2}</tex>.\\ \end{cases}\end{equation*}<br/tex> Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (4.6) можно оценить с помощью системы (4.10) и неравенства треугольника:<br><tex>| \ln a_<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \cdot \ln {(n+m)} - + (\alpha_1 - \ln nbeta_1)| = | \ln a_{n+m} - cdot \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - | < &epsilon; </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex> и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.. + \ln a_{org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>: <tex>\left| \ln a_{n + 1m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_cdot ( \ln {k=0(n+m)}^{m-1} \frac{1}{ln n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{kright| =0}^</tex> <tex>= | \ln a_{n+m} -1} \fracln a_{n + m - 1}+ \ln a_{n+km - 1} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {nldots +m} - \ln n)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex> <tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccdot \sum\limits_{1k=0}^{n+m-1}| + ... + | \ln a_cfrac{1}{n+mk} - (\ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - alpha_1 - \beta_1) \frac{1}cdot (\ln {(n+m)}| + | - \alpha_1 - ln n) \beta_1 Bigg| \leqslant</tex> <tex>\leqslant \left| \sum_ln a_{k=0n+1}^{m-1} \fracln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+k} - \ln {n+m} right| + \ln n left| \le C(\frac{1}ln a_{n^+2} + - \fracln a_{1}{(n+1)^2} + ... + - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \fraccfrac{1}{(n+m-1)^2}) \right| + | </tex>  <tex>\alpha_1 - ldots</tex> <tex>+ \beta_1 | left| \sum_ln a_{k=0n+m}^- \ln a_{n+m-1} - \fracln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+km} - \ln {n+m} right| + \ln n left|</tex>.<br>Поскольку ряд <tex>\sum_{kalpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=10}^{\inftym-1} \fraccfrac{1}{n+k^2}</- \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших  <tex>\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{^2} + \cfrac{1}{[x](n+1)^2}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>, см рис. \ldots + \cfrac{1}{(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>xn+m-1)^2}\right) + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right|</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции  Поскольку ряд <tex>y \sum\limits_{k= 1}^{\fracinfty} \cfrac{1}{xk^2}</tex>сходится, но меньше, чем площадь под графиком функции первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\ln cfrac{n+m-1} - \ln {n - 1[x]}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит на отрезке <tex>|(\ln {[n, n+m-1} - ]</tex>,  [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|right|График функции <tex>y = \ln cfrac{n-1}) - (- \ln {[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m} + \ln n)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - ]</tex>]]  (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \ln cfrac{1 - \frac{1}{n}}| < |}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex> <tex>= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+m} - \ln {\cfrac {n-1}{n}}} \right| = </tex> <tex>= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex> <tex>< \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| < C \ln {1 - \frac{1}{n}}| < C cdot \fraccfrac{1}{n}</tex>.

== Примеры =='''Замечание:Пример.''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, Рассмотрим производящую функцию для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] <tex>A(s) = 1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots </tex> Возведя ее в квадрат и умножив последовательность an результат на произвольную постоянную d > 0s, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз

<tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 = 0,</tex> откуда <tex>A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}</tex> Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> содержит отрицательные степени <tex>s</tex> Найденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. Согласно биному Ньютона <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</ref> <tex>a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex> откуда, умножая на числитель и знаменатель на <tex>n!</tex> и сокращая на <tex>2^{n + 1}</tex>, получаем <tex>a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex> Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]: <tex>\cfrac{c_{n+1}}{c_n}=\cfrac{4 \cdot n + 2}{n+2}=4 \cdot \cfrac{ n + \cfrac{1}{2}}{n+2}</tex> Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.

<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1-\fraccfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccdot \cfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {\left(\fraccfrac{s}{a}\right)^2} - \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot \left(\fraccfrac{s}{a}\right)^3+\ldots \right)</tex> Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает.В противном случае, начиная с некоторого номера, все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак.Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:</tex> <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex> Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>.Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4 \cdot s)^{\dfrac{1}{2}}</tex>ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\dfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]]. == См.также == * [[Производящая функция]]* [[Числа Каталана]] ==Примечания==

Если a — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}<references /tex>

<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n= Источники информации == * [https://www.mccme.ru/free-\alpha}{n+1}<books/lando/tex>lando-genfunc.pdf Ландо С.А., Лекции о производящих функциях, 2007 год]

Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, [[Категория: Дискретная математика и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]]