1632
правки
Изменения
м
<tex> \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}</tex>,\\
<tex> \ldots</tex>\\
<tex> \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\ \end{cases}\end{equation*}</tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
|id=def1.
|definition=
Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>\cfrac {a_{A(n + 1}}{a_n})</tex> равно отношению многочленов степени <tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической''' (англ. ''hypergeometric sequence'').
}}
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot x|<C \cdot x^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>∀ n>N</tex> получаем систему <tex>(*)</tex>
<tex>\begin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n^2}</tex>,\\
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| < ε </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex> и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>\ln {(n + m)} - \ln {n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\left| (\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - \left(- \ln {(n+m)} - \ln n \right) \right| =</tex> <tex>= \left| \ln {\cfrac {n+m-1}{n+ m} - \ln {\cfrac {n) -1}{n}}} \right| =</tex>
<tex>= \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| <</tex>
<tex>< \left| \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n}</tex>.
}}
