Изменения
→Неформальное описание: Два раза слово "получать"
Рассмотрим векторное пространство <math>\mathbb{R}^3</math>, построим в нём плоскости <math>P_1=\{z=0\}</math> и <math>P_2=\{z=1\}</math>.
Плоскость <math>P_1</math> является векторным подпространством исходного векторного пространства,
а плоскость <math>P_2</math> не является(отсутствует нейтральный элемент относительно сложения).
Это довольно странно, так как с точки зрения геометрии ни одна из плоскостей ничем не лучше другой,
плоскость <math>P_2</math> интуитивно выражается той же линейной структурой, что и <math>P_1</math>.
Точно так же они могут вычислять линейные комбинации этих векторов, и, как правило, получать разные результаты.
Однако, если сумма коэффициентов линейной комбинации будет равна <math>1</math>, то результаты будут получаться одинаковые.
Алиса будет получать получать
<math>\lambda a + (1 - \lambda) b</math>,
и Боб будет точно так же получать
{{Лемма
|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math> — множество точек из <math>A</math>. Пусть <math>x \in A</math> представима в виде аффинной комбинации <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math>. Тогда набор коэффициентов аффинной комбинации <math>\{\lambda_i\}_{i=0}^n</math>, что <math>x = \sum_{i=0}^n \lambda a_i</math>, единственен тогда и только тогда, когда набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> линейно независим.
|proof=Докажем единственность из линейной независимости. Пусть есть две аффинные комбинации с коэффициентами <math>\{\alpha_i\}_{i=0}^n</math> и <math>\{\beta\}_{i=0}^n</math>, дающие x. Посчитаем их, взяв за точку начала отсчёта точку <math>a_0</math>:
<math>\displaystyle
По [[#vectorUniqueness|лемме для векторного пространства]] такое разложение единственно, <math>\forall i \in \left[1..n\right] : \alpha_i = \beta_i \implies \alpha_0 = \beta_0</math>.
В обратную сторону доказывается идентично.
}}
Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.
{{Определение
|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> будет называться '''аффинным базисом''' этого пространства, если множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> будет базисом <math>V</math>. '''КоординатамиБарицентрическими координатами''' точки будут коэффициенты её аффинного разложения в этом базисе.
}}
Поскольку <math>\forall x \in A : x = a_0 + \overrightarrow{a_0 x}</math>, то если множество <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> ЛНЗ, то существует единственное разложение
<math> \displaystyle
x = \left(1 - \sum_{i=0}^n \lambda i lambda_i \right) a_0 + \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i
</math>,
значит, разложение в аффинный базис всегда существует, и , по лемме, оно единственно.
Также можно выделить <math>a_0</math> как начало координат, и представлять координаты так же, как это делается в векторном пространстве.
==Вычисление поворота==
===Матрица поворота===
У нас есть гиперплоскость <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>d</tex> мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно аффинно независимых (ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творчески. {{Определение |definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимым''', если мы можем выбрать одну из них, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ вектор.}}
Возьмем в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>. Получившийся Если она не лежит в гиперплоскости, то получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_d, p</tex> тоже будет ЛНЗаффинно независимым.
[[Файл:drawing-3.png|400px|thumb|right|Пример для <tex>\mathbb{R}^3</tex>]]
Пусть у нас есть какая-то выделенная зарание заранее система координат <tex>C</tex>. Эта система приходит обычно вместе с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.
Мы знаем, что можно составить матрицу переходаиз начальной системы координат координат <tex>C</tex> в систему координат на векторах <math>\{\overrightarrow{p a_i}\}_{i=1}^d</math>, если умеем можно выразить координаты векторов эти вектора в исходной базовой системе координат <texmath>C</texmath>.А в нашем случае мы это сделать, конечно, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек, просто сопредставим сопоставим нашим точкам вектора, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.
Значит, если нам известны координаты точек, то нам известны координаты векторов в ситеме <tex>C</tex>.
Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её определитель:
<tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ x & 1 \end{vmatrix} > 0</tex>.
== Источники информации ==
* Jean Gallier «Curves and Surfaces In Geometric Modeling: Theory And Algorithms» {{---}} Part I Basics of Affine Geometry
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Основание вычислительной геометрии]]
