Аффинное пространство

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определения

...

Базисы

Определение:
Пространство называется [math]d[/math]-мерным, если в нём существует набор из [math]d[/math] линейно независимых векторов, и не существует набора из [math]d + 1[/math] линейно независимого вектора.


Утверждение:
В [math]d[/math]-мерном пространстве любой вектор [math]\vec{A}[/math] единственным образом раскладывается в базисе из [math]d[/math] линейно независимых векторов [math]\{\vec{e}_i\}_{i=1}^d[/math] как [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i[/math].
[math]\triangleright[/math]

Если мы добавим в базис вектор [math]\vec{A}[/math], то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие [math]\beta[/math] и [math]\{\alpha_i\}[/math], что

[math]\displaystyle \beta \vec{A} + \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=0 \implies \vec{A} = \sum\limits_{i=1}^d-\frac{\alpha_i}{\beta}\vec{e}_i[/math],

а значит, разложение существует.

Теперь пусть есть два разложения [math]\sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math] и [math]\sum_{i=1}^d\beta_i\vec{e}_i=\vec{A}[/math]. Тогда

[math]\displaystyle \vec{A} - \vec{A} = \vec{0} = \sum_{i=1}^d(\alpha_i - \beta_i)\vec{e}_i[/math],

однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть

[math]\alpha_i - \beta_i = 0 \implies \alpha_i = \beta_i \implies[/math]   разложение единственно.
[math]\triangleleft[/math]

Мы можем переходить из одного базиса в другой.