Изменения

Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_1 alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.

Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — Банаховобанахово.

{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, доказательство что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}} Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),которая сходится в себе, то есть <tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex> Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex><tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex> Рассмотренная последовательность сходится в Люстерникесебе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>. В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \to \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i -Соболевеy_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex> Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>. Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>. Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.

Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.

Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.

{{Теорема|about=почти конечномерность компактного оператора|statement=Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что: # <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex># <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>|proof=В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\|T^\sum\limits_{-i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C\left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, то естьа значит, можно писать, что <tex>\forall n: \left\|\alphasum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\|x\sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>.

Для каждого <tex>\sup\limits_n\| n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n=+1}^\infty \alpha_n e_n \|alpha_i e_i</tex>.

ПолучилиПо выше полученным неравенствам, что <tex>\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.

Запишем оператор <tex>TI</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = T I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| TI\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.

Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены одним и тем же числом<tex>1 + C</tex>.

<tex>S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>. <tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>A_1n</tex> — конечномерный оператор. Проверим, что <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| < \varepsilonA_1</tex>:— конечномерный оператор.

Для любого Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>y \in Xvarepsilon > 0</tex>, найдется <tex>\|R_n\| \le 1 + Cn_0</tex> и такое, что <tex>R_n(y) \xrightarrow[n |R_{n_0} A \to | < \infty]{} 0varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>M\overline V</tex> — относительно компактно единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.

<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.

<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>\overline V</tex> — единичный шар в , так как <tex>XR_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex>, на <tex>M = A</tex> (из ограниченности <tex>\overline V)implies</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex> — компактно).

Получили <tex>R_n\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax) \stackrel{n | < \varepsilon\to \infty}{forall x \rightrightarrows} 0</tex> на <tex> in \overline {V }</tex>, так как то есть, <tex>R_n(y) \stackrel|R_{n \to \inftyn_0}{A\rightrightarrows} 0| </tex> на <tex>M\varepsilon</tex>.

Получили В итоге, примем <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_A_1 = S_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}A</tex>, то есть, <tex>\|A_2 = R_{n_0}A\| < \varepsilon/tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex>компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.}}