1632
правки
Изменения
м
ВПусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.
</wikitex>[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
rollbackEdits.php mass rollback
[[Компактный оператор |<wikitex<]][[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|>>]] Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда $<tex>X$ </tex> имеет базис Шаудера.
{{Определение
|definition=
Базисом Шаудера в банаховом пространстве $<tex>X$ </tex> называется множество его элементов $<tex>e_1, e_2 \dots e_n \dots$ </tex> такое, что у любого $<tex>x$ </tex> в $<tex>X$ </tex> существует единственное разложение $<tex>x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i$</tex>.
}}
Примеры:
* ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
* в $<tex>L_p(E)$ </tex> и $<tex>C[a, b]$ </tex> тоже есть базис Шаудера
* но не у всех банаховых пространств он есть
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex>
Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:
<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex>
<tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.
В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \to \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:
<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>
Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.
Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.
Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
}}
Определим биективный линейный оператор <tex>T: F \to X</tex> как <tex>T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n</tex>.
Покажем, что он ограничен: <tex>\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|</tex>, то есть <tex>\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1</tex>.
Так как <tex>F</tex> и <tex>X</tex> — банаховы, по [[Теорема Банаха об обратном операторе|теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: <tex>\|T^{-1}\| \le C</tex>, то есть, <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>.
{{Теорема
|about=
почти конечномерность компактного оператора
|statement=
Если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:
# <tex>\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty</tex>
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.
По выше полученным неравенствам, <tex>\|S_n(x)\| \le C \|x\|</tex>, то есть нормы всех <tex>S_n</tex> ограничены числом <tex>C</tex>.
Запишем оператор <tex>I</tex> как <tex>S_n + R_n</tex>, тогда <tex>R_n = I - S_n</tex>, <tex>\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C</tex>.
Это значит, что нормы всех остаточных операторов <tex> R_n </tex> ограничены числом <tex>1 + C</tex>.
Пусть <tex>A : X \to X</tex> — компактный.
<tex>A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2</tex>.
<tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>n</tex>, <tex>A_1</tex> — конечномерный оператор.
Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> найдется <tex>n_0</tex> такое, что <tex>\|R_{n_0} A \| < \varepsilon</tex>.
Рассмотрим <tex>\overline V</tex> — единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.
<tex>\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| < \varepsilon</tex>
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\implies</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
В итоге, примем <tex>A_1 = S_{n_0}A</tex>, <tex>A_2 = R_{n_0}A</tex>. <tex>A_1</tex> и <tex>A_2</tex> компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
}}
