Базис Шаудера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 10 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Компактный оператор |<<]][[Альтернатива Фредгольма — Шаудера|>>]]
 +
 
Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.
 
Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда <tex>X</tex> имеет базис Шаудера.
  
Строка 11: Строка 13:
 
* но не у всех банаховых пространств он есть
 
* но не у всех банаховых пространств он есть
  
Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_1 \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.  
+
Пусть в <tex>X</tex> есть базис Шаудера, тогда между <tex>x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k</tex> и <tex>(\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)</tex> — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим <tex>F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}</tex> — это линейное пространство.  
  
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в НП, определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
+
Так как ряд сходится, <tex>F</tex> можно превратить в [[Нормированные пространства|НП]], определив норму как <tex>\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|</tex>.
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 19: Строка 21:
 
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
 
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
 
|proof=
 
|proof=
 +
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}
 +
 
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
 
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
 
которая сходится в себе, то есть
 
которая сходится в себе, то есть
Строка 28: Строка 32:
 
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>
 
2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, k > N(\varepsilon)</tex>
  
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}
+
Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к <tex>z^n</tex>, докажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. Для начала нужно доказать, что <tex>z \in F</tex>, то есть, что <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| < +\infty</tex>.
 +
 
 +
В неравенстве <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> можно перейти к пределу <tex>k \to \infty</tex>, получая <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex>. Далее, рассмотрим следующую сумму: <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|</tex>. Используя равенство <tex>z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i</tex>, получаем следующее неравенство:
 +
 
 +
<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>
 +
 
 +
Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i \right \|</tex>.
 +
 
 +
Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.
 +
 
 +
Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 46: Строка 60:
 
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
 
# <tex>\|A_2\| < \varepsilon</tex>
 
|proof=
 
|proof=
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \right\| \le C \left\| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \right\|</tex>
+
В полученном выше соотношении <tex>\|\alpha\| \le C \|x\|</tex>, раскроем нормы: <tex>\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>, а значит, <tex> \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|</tex>
  
 
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.
 
Для каждого <tex>n</tex>, определим на элементах <tex>X</tex> два оператора: <tex>S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i</tex> и <tex>R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i</tex>.
Строка 70: Строка 84:
 
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>
 
<tex>\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|</tex>
  
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.
+
<tex> \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>, поэтому <tex> \exists N_j: \forall n > N_j : \|R_n z_j\| < \varepsilon </tex>.
  
 
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.
 
Возьмем <tex> N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j </tex>, тогда <tex> \forall n > N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>.
Строка 76: Строка 90:
 
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.
 
Значит, <tex>\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon</tex>.
  
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex>.
+
<tex>R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex> \overline V </tex>, так как <tex>R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0</tex> на <tex>M</tex> (из ограниченности <tex>\implies</tex> непрерывности <tex>R_n</tex> и <tex>\|R_n z_j \| < \varepsilon </tex>).
  
 
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.
 
Получили <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| < \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}</tex>, то есть, <tex>\|R_{n_0}A\| < \varepsilon</tex>.

Текущая версия на 02:23, 13 июня 2013

<<>>

Выясним структуру компактного оператора в специальном случае — когда [math]X[/math] имеет базис Шаудера.


Определение:
Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math].


Примеры:

  • ортонормированный базис в Гильбертовом пространстве — базис Шаудера
  • в [math]L_p(E)[/math] и [math]C[a, b][/math] тоже есть базис Шаудера
  • но не у всех банаховых пространств он есть

Пусть в [math]X[/math] есть базис Шаудера, тогда между [math]x = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_k e_k[/math] и [math](\alpha_1 \dots \alpha_n \dots)[/math] — бесконечными последовательностями есть биекция. Определим [math]F = \{(\alpha_1 \dots \alpha_n\dots) \mid \exists x \in X: \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \to x \}[/math] — это линейное пространство.

Так как ряд сходится, [math]F[/math] можно превратить в НП, определив норму как [math]\| \alpha \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i\right\|[/math].

Утверждение:
Пространство [math] F [/math] относительно этой нормы — банахово.
[math]\triangleright[/math]

TODO: Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что [math]F[/math] — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения

Пусть дана последовательность [math]y_k \in F[/math] (за [math]y_k^i[/math] обозначаем [math]i[/math]-ый элемент [math]k[/math]-ой последовательности), которая сходится в себе, то есть [math]\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \lt \varepsilon[/math] при [math]m, k \ge N(\varepsilon)[/math]

Рассмотрим последовательность [math]y_k^i[/math] при фиксированном [math]i[/math], докажем, что эта последовательность сходится: [math]| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le[/math] [math]\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le 2 \sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \lt 2 \varepsilon[/math] при [math]m, k \gt N(\varepsilon)[/math]

Рассмотренная последовательность сходится в себе, следовательно, сходится. Пусть эта последовательность сходится к [math]z^n[/math], докажем, что [math]z[/math] является пределом последовательности [math]y_i[/math]. Для начала нужно доказать, что [math]z \in F[/math], то есть, что [math]\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n z^i e_i \right \| \lt +\infty[/math].

В неравенстве [math]\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \lt \varepsilon[/math] можно перейти к пределу [math]k \to \infty[/math], получая [math]\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon[/math]. Далее, рассмотрим следующую сумму: [math]\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \|[/math]. Используя равенство [math]z^i e_i = (z^i - y_m^i) e_i + y_m^i e_i[/math], получаем следующее неравенство:

[math]\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|[/math] [math]\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon[/math]

Пусть дано произвольное [math]\delta[/math], выберем [math]\varepsilon \lt \delta/4[/math] и [math]N(\varepsilon)[/math], такое, что при [math]m \gt N[/math] выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное [math]m \gt N[/math], и выберем [math]n_0[/math] при котором для любого [math]n \ge n_0[/math], [math]p \gt 0[/math] выполняется [math]\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| \lt \delta/2[/math], что возможно в силу сходимости ряда [math]\left \| \sum y_m^i e_i \right \|[/math].

Итого, для произвольного [math]\delta[/math] мы получили такое [math]n_0(\delta)[/math], что при [math]n \ge n_0[/math], [math]p \gt 0[/math] выполняется [math]\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \lt \delta[/math], следовательно, ряд [math]\left \| \sum z^i e_i \right \|[/math] сходится и [math]z \in F[/math].

Полученное ранее неравенство [math]\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon[/math] верно для любого [math]n[/math] и при [math]m \ge m_0(\varepsilon)[/math], то верно и неравенство [math]\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| = \| y_m - z \| \le \varepsilon[/math], то есть, [math]z[/math] является пределом последовательности [math]y_k[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Определим биективный линейный оператор [math]T: F \to X[/math] как [math]T \alpha = \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n[/math].

Покажем, что он ограничен: [math]\|T\alpha\| = \|x\| = \left\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \right\| \le \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| = \| \alpha \|[/math], то есть [math]\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1[/math].

Так как [math]F[/math] и [math]X[/math] — банаховы, по теореме Банаха об обратном операторе, обратный оператор также ограничен: [math]\|T^{-1}\| \le C[/math], то есть, [math]\|\alpha\| \le C \|x\|[/math].

Теорема (почти конечномерность компактного оператора):
Если [math]X[/math] — банахово пространство с базисом Шаудера, [math]A:X \to X[/math] — компактный, то для всех [math]\varepsilon \gt 0[/math] существует разложение оператора [math]A[/math] в сумму двух компактных операторов: [math]A = A_1 + A_2[/math] такое, что:
  1. [math]\operatorname{dim}(R(A_1)) \lt +\infty[/math]
  2. [math]\|A_2\| \lt \varepsilon[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

В полученном выше соотношении [math]\|\alpha\| \le C \|x\|[/math], раскроем нормы: [math]\sup\limits_n\left\| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|[/math], а значит, [math] \forall n: \left\|\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \right\| \le C \left\| \sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i e_i \right\|[/math]

Для каждого [math]n[/math], определим на элементах [math]X[/math] два оператора: [math]S_n(x) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i[/math] и [math]R_n(x) = \sum\limits_{i=n+1}^\infty \alpha_i e_i[/math].

По выше полученным неравенствам, [math]\|S_n(x)\| \le C \|x\|[/math], то есть нормы всех [math]S_n[/math] ограничены числом [math]C[/math].

Запишем оператор [math]I[/math] как [math]S_n + R_n[/math], тогда [math]R_n = I - S_n[/math], [math]\|R_n\| \le \| I\| + \|S_n\| \le 1 + C[/math].

Это значит, что нормы всех остаточных операторов [math] R_n [/math] ограничены числом [math]1 + C[/math].

Пусть [math]A : X \to X[/math] — компактный.

[math]A = IA = S_n A + R_n A = A_1 + A_2[/math].

[math]R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math], то есть, для всех [math]n[/math], [math]A_1[/math] — конечномерный оператор.

Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех [math]\varepsilon \gt 0[/math] найдется [math]n_0[/math] такое, что [math]\|R_{n_0} A \| \lt \varepsilon[/math].

Рассмотрим [math]\overline V[/math] — единичный шар в [math]X[/math], [math]M = A(\overline V)[/math] — относительно компактно, следовательно, для любого [math]\varepsilon \gt 0[/math] есть конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть [math]z_1, \ldots, z_p[/math].

[math]\forall y \in M \exists z_j:\ \|y - z_j\| \lt \varepsilon[/math]

[math]\|R_n y\| = \|R_n y - R_n z_j + R_n z_j\| \le \|R_n\| \|y - z_j\| + \|R_n z_j\| \le (1 + C) \varepsilon + \|R_n z_j\|[/math]

[math] \forall j = 1\ldots p, R_n z_j \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math], поэтому [math] \exists N_j: \forall n \gt N_j : \|R_n z_j\| \lt \varepsilon [/math].

Возьмем [math] N = \max\limits_{j = 1\ldots p} N_j [/math], тогда [math] \forall n \gt N\ \forall j = 1\ldots p:\ \|R_n z_j \| \lt \varepsilon [/math].

Значит, [math]\|R_n y \| \le (2 + C) \varepsilon[/math].

[math]R_n(Ax) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math] \overline V [/math], так как [math]R_n(y) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} 0[/math] на [math]M[/math] (из ограниченности [math]\implies[/math] непрерывности [math]R_n[/math] и [math]\|R_n z_j \| \lt \varepsilon [/math]).

Получили [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists n_0: \|R_{n_0} (Ax)\| \lt \varepsilon\ \forall x \in \overline{V}[/math], то есть, [math]\|R_{n_0}A\| \lt \varepsilon[/math].

В итоге, примем [math]A_1 = S_{n_0}A[/math], [math]A_2 = R_{n_0}A[/math]. [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] компактны как композиция компактного и огранниченного оператора.
[math]\triangleleft[/math]