Изменения

$\sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n = \lim_lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i$, следовтательно, $\| \sum\limits_{n = 1}^\infty \alpha_n e_n \| \le \sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i e_i \| = \| \alpha \|$, то есть $\| T\alpha \| \le \| \alpha \| \implies \|T\| \le 1$, то есть он ограничен.

Так как $F$ и $X$ — банаховы, по [[теореме Банаха об обратном операторе]], обратный оператор также ограничен: $\|T^{-1}\| \le C$, то есть можно писать, что $\|\alpha\| \le C \|x\|$, или $\sup\limits_n \| \sum\limits_{i=1}^n \alpha_n e_n \| \le C \| \sum\limits_{n=1}^\infty \alpha_n e_n \|$. Получили, что $\forall n: \| S_n(x) \| \le C \|x\|$. Запишем оператор $T$ как $S_n + R_n$, тогда $R_n = T - S_n$, $\|R_n\| \le \| T\| + \|S_n\| \le 1 + C$, то есть норма ост. операторая ограничена нормы остаточных операторов ограничены одним и тем же числом. {{TODO|t=чо? каким одним и тем жея ведь правильно распознал текст конспекта?}}

{{Утверждение|statement=Пусть Итак, если $X$ — банахово пространство с базисом (Шаудера?), $A:X \to X$ — компактный, $\forall \varepsilon > 0: A = A_1 + A_2$, где $\operatorname{dim}(R(A_1)) < +\infty, \|A_n\| < \varepsilon$ — почти конечномерность компактного оператора.}}