Изменения

Итак, если <tex>X</tex> — банахово пространство с базисом Шаудера, <tex>A:X \to X</tex> — компактный, то для всех <tex>\varepsilon > 0</tex> существует разложение оператора <tex>A</tex> в сумму двух компактных операторов: <tex>A = A_1 + A_2</tex> такое, что:

<tex>S_n(y) = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k</tex>. <tex>R(A_1) \subset \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)</tex>, то есть, для всех <tex>A_1n</tex> — конечномерный оператор. Проверим, что <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \|R_{n_0} A \| < \varepsilonA_1</tex>:— конечномерный оператор.

Для любого Докажем теперь вторую часть теоремы: покажем, что для всех <tex>y \in Xvarepsilon > 0</tex>, найдется <tex>\|R_n\| \le 1 + Cn_0</tex> и такое, что <tex>R_n(y) \xrightarrow[n |R_{n_0} A \to | < \infty]{} 0varepsilon</tex>.

Рассмотрим <tex>M\overline V</tex> — относительно компактно единичный шар в <tex>X</tex>, <tex>M = A(\overline V)</tex> — относительно компактно, следовательно, для любого <tex>\varepsilon > 0</tex> есть конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>z_1, \ldots, z_p</tex>.