304
правки
Изменения
Начал доказательство банаховости координатного пространства
{{Утверждение
|statement=
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — Банаховобанахово.
|proof=
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),которая сходится в себе, то есть<tex>\| y_m - y_k \| = \sup\limits_n \left\| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < \varepsilon</tex> при <tex>m, k \ge N(\varepsilon)</tex> Рассмотрим последовательность <tex>y_k^i</tex> при фиксированном <tex>i</tex>, докажем, что эта последовательность сходится:<tex>| y_m^n - y_k^n | \| e_n \| = \| (y_m^n - y_k^n) e_n \| = \left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i - \sum\limits_{i = 1}^{TODOn - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le</tex><tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| \le2 \sup\limits_n \left \|t\sum\limits_{i =доказать1}^n (y_m^i - y_k^i) e_i \right \| < 2 \varepsilon</tex> при <tex>m, доказательство есть k > N(\varepsilon)</tex> Рассмотренная последовательность сходится в Люстернике-Соболевесебе, следовательно, сходится. Напишите сюда пожалуйстаПусть эта последовательность сходится к <tex>z^k</tex>, а то смысл этих конспектов пропадаетдокажем, что <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_i</tex>. {{TODO|t=Coming soon...}}
}}
