304
правки
Изменения
заполнил доказательство полноты координатного пространства
Пространство <tex> F </tex> относительно этой нормы — банахово.
|proof=
{{TODO|t=Далее приведено доказательство полноты, но нужно также доказать, что <tex>F</tex> — линейное пространство, и что заданная норма удовлетворяет аксиомам, что оставляется читателю в качестве упражнения}}
Пусть дана последовательность <tex>y_k \in F</tex> (за <tex>y_k^i</tex> обозначаем <tex>i</tex>-ый элемент <tex>k</tex>-ой последовательности),
которая сходится в себе, то есть
<tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| \le \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = 1}^{n + p} (z^i - y_m^i) e_i \right \| + \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \|</tex> <tex>\le \left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| + 2\varepsilon</tex>
Пусть дано произвольное <tex>\delta</tex>, выберем <tex>\varepsilon < \delta/4</tex> и <tex>N(\varepsilon)</tex>, такое, что при <tex>m > N</tex> выполняется неравенство, полученное выше. Зафиксируем такое конкретное <tex>m > N</tex>, и выберем <tex>n_0</tex> при котором для любого <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} y_m^i e_i \right \| < \delta/2</tex>, что возможно в силу сходимости ряда <tex>\left \| \sum y_m^i e_i\right \|</tex>.
Итого, для произвольного <tex>\delta</tex> мы получили такое <tex>n_0(\delta)</tex>, что при <tex>n \ge n_0</tex>, <tex>p > 0</tex> выполняется <tex>\left \| \sum\limits_{i = n}^{n + p} z^i e_i \right \| < \delta</tex>, следовательно, ряд <tex>\left \| \sum z^i e_i \right \|</tex> сходится и <tex>z \in F</tex>.
Полученное ранее неравенство <tex>\left \| \sum\limits_{i = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \| \le \varepsilon</tex> верно для любого <tex>n</tex> и при <tex>m \ge m_0(\varepsilon)</tex>, то верно и неравенство <tex>\sup\limits_n \left \| \sum\limits_{TODOi = 1}^n (y_m^i - z^i) e_i \right \|t=Work in progress}}\| y_m - z \| \le \varepsilon</tex>, то есть, <tex>z</tex> является пределом последовательности <tex>y_k</tex>.
}}
