Базовые определения и формализм

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определения[править]

Базовые определения[править]

Определение:
Отношения между операциями [math] e, f, g [/math] процессов [math] P, Q, R [/math]

Исполнение системы [math]-[/math] это пара [math] (H, \rightarrow_H)[/math], где:

  • [math] H - [/math] множество операций [math] e, f, g\ldots [/math] (чтение, запись ячеек памяти и т.п.), произошедших во время исполнения
  • [math] \rightarrow_H - [/math] это отношение частичного строгого порядка на множестве операций (транзитивное, антирефлексивное, асимметричное)
  • [math] e \rightarrow_H f [/math] означает, что операция [math] e [/math] произошла до операции [math] f [/math] в исполнении [math] H [/math]

Замечание: чаще всего исполнение [math] H [/math] понятно из контекста и опускается

Пусть [math] e, f \in H. [/math] Тогда говорят, что [math] e [/math] параллельна [math] f [/math], если [math] e \not \rightarrow f \land f \not \rightarrow e. [/math]
Обозначение: [math] e || f [/math]


Определение:
Система [math]–[/math] это множество всех возможных исполнений.
Говорим, что система имеет свойство [math]P[/math], если каждое исполнение системы имеет свойство [math] P [/math]


Определение:
Отношения между операциями [math] e, f, g [/math] процессов [math] P, Q, R [/math] в модели глобального времени
Модель глобального времени определим так, что это модель, в которой в качестве операции используется временной интервал: [math] e = [t_{inv}(e), t_{res}(e)], [/math] причём [math] t_{inv}(e), t_{res}(e) \in \mathbb{R} [/math]. Зададим в этой модели отношение [math] \rightarrow [/math] следующим образом: [math] e \rightarrow f = t_{inv}(f) \gt t_{res}(e) [/math]. Неформально это означает, что вход в функцию, выполняющую операцию [math] f [/math], был осуществлён строго позже, чем был получен результат работы функции, выполняющей операцию [math] e [/math].
Замечание: глобального времени не существует из-за физических ограничений, поэтому в доказательствах такая модель не используется, но помогает при визуализации различных исполнений


Определение:
Исполнение системы [math] (H, \rightarrow) [/math] называется последовательным, если [math] \forall e, f \in H: (e = f) \lor (e \rightarrow f) \lor (f \rightarrow e) [/math]. То есть, если все операции линейно-упорядочены отношением "произошло до".


Конфликты и гонки данных[править]

Определение:
Две операции над одной переменной, одна из которых это запись, называются конфликтующими. Соответственно, бывают read-write и write-write конфликты.


Определение:
Если две конфликтующие операции произошли параллельно, то такая ситуация называется гонка данных (англ. data race)
Замечание: наличие гонки данных является свойством конкретного исполнения.


Определение:
Программа называется корректно синхронизированной, если в любом допустимом исполнении нет гонок данных.


Правильное исполнение[править]

Определение:
Пример правильного и неправильного исполнения

Сужение исполнения [math] (H, \rightarrow) [/math] на поток [math] P - [/math] исполнение, в котором остались только операции, происходящие в потоке [math] P [/math].
Обозначение: [math] \left.H\right|_P [/math]. Формально [math] \left.H\right|_P = \{e \in H|\ proc(e) = P\}[/math]

Исполнение называется правильным (англ. well-formed), если его сужение на каждый поток [math] P [/math] является последовательным.


Определение:
Объединение всех сужений на потоки называется программным порядком (англ. program order или po).


Определение:
Сужение исполнения [math] (H, \rightarrow) [/math] на объект [math] x - [/math] исполнение, в котором остались только операции, взаимодействующие с объектом [math] x [/math].
Обозначение: [math] \left.H\right|_x [/math]. Формально [math] \left.H\right|_x = \{e \in H|\ obj(e) = x\}[/math]
Замечание: в правильном исполнении сужение на объекты не всегда является последовательным


Условия согласованности[править]

Определение:
Согласованность является аналогом корректности в многопоточном программировании.
Базовое требование согласованности: корректные последовательные программы должны cчитаться согласованными при любом их исполнении в одном потоке


Определение:
Последовательное исполнение является допустимым (англ. legal), если выполнены последовательные спецификации всех объектов.


Определение:
Исполнение последовательно согласовано, если можно сопоставить эквивалентное ему (состоящее из тех же событий и операций) допустимое последовательное исполнение, которое сохраняет программный порядок, то есть порядок операций на каждом потоке.
Замечание: Последовательная согласованность на каждом объекте не влечёт последовательную согласованность исполнения


Допустимое и недопустимое исполнения Последовательно согласованное исполнение
Пример отсутствия последовательной согласованности исполнения при последовательной согласованности на каждом объекте ([math] s, t - [/math] две FIFO очереди)
Определение:
Исполнение [math] (H, \rightarrow_H) [/math] линеаризуемо, если существует эквивалентное ему допустимое последовательное исполнение [math] (L(H), \rightarrow_{L(H)}) [/math], называемое линеаризацией, и верно что [math] \forall e, f \in H: e \rightarrow_H f \Rightarrow e \rightarrow_{L(H)} f [/math], то есть сохраняется отношение "произошло до".

Пример линеаризуемого исполнения

Декомпозиция исполнения[править]

Определение:
Определим декомпозицию исполнения как пятёрку [math] (H, G, \rightarrow_G, inv, res) [/math], где
  • [math] H -[/math] множество операций [math] (\forall e \in H: e \subset G) [/math]
  • [math] G -[/math] множество событий
  • [math] \rightarrow_G - [/math] отношение строгого порядка произошло до на событиях из [math] G [/math]
  • [math] inv, res: H \rightarrow G - [/math] такие функции, что
    • [math] \forall e \in H: inv(e) \rightarrow_G res(e) [/math]
    • [math] \forall e \in H, g \in e, g \neq inv(e), g \neq res(e): inv(e) \rightarrow_G g \rightarrow_G res(e) [/math]


Определение:
Определим произошло до на операциях: [math] \forall e, f \in H: e \rightarrow_H f = res(e) \rightarrow_G inv(f) [/math]


Свойства линеаризуемости[править]

Определение:
Пусть дана декомпозиция [math] (H, G, \rightarrow_G, inv, res) [/math]. Тогда определим точки линеаризации как функцию [math] p: H \rightarrow G [/math] такую, что:
  • [math] \forall e \in H: p \neq inv(e) \land p \neq res(e) [/math]
  • [math] P = p(H) \subset G -[/math] множество всех точек линеаризации
  • [math] (L(P), \rightarrow_{L(P)}) -[/math] линеаризация [math] (G, \rightarrow_G) [/math], то есть [math] \forall e, f \in H: p(e) \rightarrow_G p(f) \Rightarrow p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) [/math]


Утверждение (эквивалентное определение линеаризуемости):
Пусть дана декомпозиция [math] (H, G, \rightarrow_G, inv, res) [/math].

Исполнение [math] (H, \rightarrow_H) [/math] является линеаризуемым [math] (L(H), \rightarrow_{L(H)}) [/math] тогда и только тогда, когда[math]^*[/math] верны два условия:

  1. Можно выбрать точки линеаризации [math] p: H \rightarrow G [/math]
  2. [math] \forall e, f \in H: e \rightarrow_{L(H)} f \Leftrightarrow p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) [/math]
[math]*[/math] Для существования точек линеаризации из линеаризации необходимо, чтобы бы выполнялось: [math] \forall e, f \in H: e \rightarrow_{L(H)} f \Rightarrow \exists a \in e, b \in f: a \rightarrow_G b. [/math]
[math]\triangleright[/math]

[math] \Leftarrow [/math] Пусть есть точки линеаризации [math] \forall e \in H: p(e) \in G [/math], полный порядок [math] \rightarrow_{L(P)} [/math] над ними. Требуется найти линеаризацию [math] (L(H), \rightarrow_{L(H)}) [/math]. Определим [math] L(H) [/math] как [math] H [/math], так как они по определению линеаризации должны быть эквивалентны, а [math] \rightarrow_{L(H)} [/math] определим, воспользовавшись вторым условием предпосылки. Докажем корректность такой линеаризации, то есть что [math] \forall e, f \in H: e \rightarrow_H f \Rightarrow e \rightarrow_{L(H)} [/math]:

  1. [math] e \rightarrow_H f [/math] (дано)
  2. [math] res(e) \rightarrow_G inv(f) [/math] (по определению [math] \rightarrow_H [/math])
  3. [math] p(e) \rightarrow_G res(e) [/math] (по определению декомпозиции и точек линеаризации)
  4. [math] inv(f) \rightarrow_G p(f) [/math] (по определению декомпозиции и точек линеаризации)
  5. [math] p(e) \rightarrow_G p(f) [/math] (по транзитивности)
  6. [math] p(e) \rightarrow_{L(P)} p(f) [/math] (по определению линеаризации)
  7. [math] p(e) \rightarrow_{L(H)} p(f) [/math] (по определению [math] \rightarrow_{L(H)} [/math])

[math] \Rightarrow [/math]

Добавим события [math] \forall e \in H: p(e) [/math] в [math] G [/math] такие, что [math] inv(e) \rightarrow_G p(e) \rightarrow_G res(e) [/math] и для которых выполнено требование из [math]*[/math]. Эти точки и будут точками линеаризации. Итак, построены точки линеаризации, которые, очевидно, сохраняют линеаризацию по их построению.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие 1. Для модели глобального времени эта теорема верна в обе стороны: действительно дополнительное требование выполняется, так как каждая операция в нём является непрерывным множеством.

Следствие 2. Чтобы среди точек линеаризации был порядок, согласованный с семантикой низкоуровневых операций, достаточно чтобы операции низкого уровня были атомарны (линеаризуемы)

Источники информации[править]