Изменения

[[Файл:Bayesian Student NetworkМодель студента.png|мини|600px|Рис. 1: Байесовская сеть "Студент"]]

Байесовская сеть, представленная на рисунке 1, отображает следующие зависимости. Оценка студента (Grade) зависит от его интеллекта (Intelligence) и сложности курса (Difficulty). Студент просит у преподавателя рекомендательное письмо (Letter)рекомендацию, предположим, что преподаватель может написать плохое плохую или хорошее письмо хорошую рекомендацию в зависимости от оценки студента. Также студент сдаёт экзамен для поступления в колледж (SAT)госэкзамен, результаты экзамена не зависят от письма рекомендации преподавателя, оценки за его курс и сложности курса. Представление этой модели в Байесовской сети представлено на рисунке ниже.

С помощью цепного правила рассчитаем вероятность того, что умный студент получает B по лёгкому курсу, высокий балл по SAT за госэкзамен и плохое рекомендательное письмоплохую рекомендацию: <math> P(i1, d0, g2, s1, l0) = P(i1)P(d0)P(g2 | i1, d0)P(s1 | i1)P(l0 | g2) = 0.3*0.6*0.08*0.8*0.4 = 0.004608. </math>

Байесовская сеть представляет допустимое корректное вероятностное распределение:

Пример к рисунку 1: вероятность получения хорошего рекомендательного письмахорошей рекомендации, если известно, что студент обладает низким интеллектом, <math>P(l1 | i0) \approx 0.39</math>, если известно, что курс был лёгким, вероятность повысится, <math>P(l1 | i0, d0) \approx 0.51 </math>.

'''Маргинальная вероятность''' — это безусловная вероятность <math>P(A)</math> события <math>A</math>; то есть, вероятность события <math>A</math>, независимо от того, наступает ли какое-то другое событие <math>B</math> или нет.}} Если о <math>B</math> можно думать как о некоторой случайной величине, принявшей данное значение, маргинальная вероятность <math>A</math> может быть получена суммированием (или более широко интегрированием) совместных вероятностей по всем значениям этой случайной величины. Эту процедуру иногда называют '''маргинализацией''' вероятности. На рисунке 1 вероятность того, что студент умный (<math>i=1</math>), является маргинальной, так как у вершины <math>i</math> нет родителей, с помощью маргинализации эту же вероятность можно получить, сложив вероятности того, что студент умный и он получит высокий балл за госэкзамен, и того, что студент умный и получит низкий балл за госэкзамен. {{Определение|definition =<math>X</math> и <math>Y</math> являются <math>d</math>-разделёнными (англ. <math>d</math>-separated), если в графе <math>G</math> при условии означивании <math>Z</math> не существует активного пути между <math>X</math> и <math>Y</math>. Обозначение: <math>dsep_G(X, Y|Z)</math>.

|statement=Если <math>P</math> факторизуется над <math>G</math> и <math>dsep_G(X, Y|Z)</math>, то P удовлетворяет <math>P \models (X \bot Y|Z)</math>.|proof= <math>dsep_G(D, S|G)</math>, <math>P(D,I,G,S,L) = P(D)P(I)P(G|I,D)P(S|I)P(L|G)</math> — цепное правило, <math>P</math> факторизуется над <math>G</math>,  <math>P(D,S) = \sum\limits_{G, L, I} P(D)P(I)P(G|D,I)P(S|I)P(L|G)=</math>

|statement=Если <math>P</math> факторизуется над <math>G</math>, то в <math>P</math> каждая переменная <math>d</math>-отделена (независима ) от вершин, не являющихся её потомками, при условии означивании родителей.

[[Файл:Flow_of_influence_and_d-separation.PNG|мини|600px|Рис. 2: Иллюстрация к утверждению про независимость переменной от вершин, не являющихся её потомками]] Рассмотрим пример на рисунке 2: Вершина <math>L</math> <math>d</math>-отделена от всех вершин, не являющихся её потомками, так как все пути от вершин, не являющихся потомками, проходят через <math>G</math>, которая получила означивание, следовательно, такие пути неактивны, а пути, проходящие через <math>J</math> или <math>L</math> не являются активными, так как данные вершины не получили означивание и образуют <math>v</math>-образную структуру. 

<math>I(G)={(X \bot Y | Z):dsep_G(X, Y|Z)}</math>, если <math>P</math> удовлетворяет <math>\models I(G)</math>, <math>G</math> является '''картой независимостей''' для <math>I-mapP</math> (independency map) для . <math>PI(G)</math>— множество независимостей.

|statement=Если <math>P</math> факторизуется над <math>G</math>, то <math>G</math> является картой независимостей для <math>I-mapP</math> для .|proof=Доказательство такое же, как у теоремы выше, использующей понятие <math>Pd</math>-разделимости, так как мы перефразировали её в терминах карты независимостей.

|statement=Если <math>G</math> является <math>I-map</math> картой независимостей для <math>P</math>, то <math>P</math> факторизуется над <math>G</math>.|proof= <math>P(D,I,G,S,L) = P(D)P(I|D)P(G|D,I)P(S|D,I,G)P(L|D,I,G,S)=</math>— цепное правило для вероятностей,воспользуемся тем, что переменные независимы от вершин, не являющихся их потомками, при означивании родителей, получим: <math>P(D)P(I|D)P(G|D,I)P(S|D,I,G)P(L|D,I,G,S)=</math><math>P(D)P(I)P(G|D,I)P(S|I)P(L|D,I,G,S)=</math> — цепное правило для байесовской сети.Значит <math>P(D)P(</math> факторизуется над <math>G|D,I)P(S|I)P(L|G)</math>.