Изменения

'''Байесовская сеть''' (англ. ''Bayesian network'') — это направленный ациклический граф <tex>G\ = <V, E></tex>, в котором каждой вершине <tex>v \in V</tex> поставлена в соответствие случайная переменная величина <tex>X_v</tex> и каждое ребро <tex>(u, v) \in E</tex> представляет прямую зависимость <tex>X_v</tex> от <tex>X_u</tex>. Пусть <tex>parents(v) = {u\ |\ (u,\ v)\ \in\ E}</tex>, тогда в Байесовской сети каждой вершине <tex>v\ \in\ V</tex> графа должно быть сопоставлено распределение условных вероятностей от вершин из <tex>parents(v)</tex>.

[[Файл:Модель студента.png|мини|center|600px|Рис. 1: Байесовская сеть "Студент".]]

С помощью цепного правила рассчитаем вероятность того, что умный студент получает B по лёгкому курсу, высокий балл за госэкзамен и плохую рекомендацию: <math> P(i1i_1, d0d_0, g2g_2, s1s_1, l0l_0) = P(i1i_1)P(d0d_0)P(g2 g_2 | i1i_1, d0d_0)P(s1 s_1 | i1i_1)P(l0 l_0 | g2g_2) = 0.3*0.6*0.08*0.8*0.4 = 0.004608. </math>

<math> \sum\limits_{D,I,G} P(D)P(I)P(G|I,D) \sum\limits_{S} P(S|I) = \sum\limits_{D,I,G} P(D)P(I)P(G|I,D) = \ldots sum\limits_{D,I} P(D)P(I)\sum\limits_{G}P(G|I,D) = \sum\limits_{D,I} P(D)P(I) = 1. </math>

Пример к рисунку 1: вероятность получения хорошей рекомендации, если известно, что студент обладает низким интеллектом, <math>P(l1 l_1 | i0i_0) \approx 0.39</math>, если известно, что курс был лёгким, вероятность повысится, <math>P(l1 l_1 | i0i_0, d0d_0) \approx 0.51 </math>.

Пример к рисунку 1: вероятность того, что курс сложный, если студент получил оценку С, <math>P(d1 d_1 | g3g_3) \approx 0.63</math>, вероятность того, что студент умный, если он получил оценку С, <math> P(i1 i_1 | g3g_3) \approx 0.08 </math>.

Рассмотрим вероятность из прошлого примера, <math> P(i1 i_1 | g3g_3) \approx 0.08 </math>, вероятность того, что студент умный, слегка увеличивается, если также известно, что курс сложный, <math> P(i1 i_1 | g3g_3, d1d_1) \approx 0.11 </math>, сложность курса (D) и интеллект студента (I) не связаны ребром, рассмотрим, как получается, что они влияют друг на друга, на более простом примере.

<math>X</math> '''влияет''' на <math>УY</math>, когда свидетельство <math>X</math> может изменить распределение вероятностей <math>Y</math>.

Рассмотрим случаи, когда <math>X</math> влияет на <math>УY</math> при имеющихся свидетельствах <math>Z</math>:

* Если вершины связаны непосредственно (<math>X \rightarrow Y</math> или : <math>X</math> всегда влияет на <math>Y</math>.* <math>X \leftarrow Y</math>), : <math>X</math> всегда влияет на <math>Y</math>.* <math>X \rightarrow W \rightarrow Y</math>: <math>X</math> влияет на <math>Y</math>, если <math>W</math> не принадлежит <math>Z</math>.* <math>X \leftarrow W \leftarrow Y</math>: <math>X</math> влияет на <math>Y</math>, если <math>W</math> не принадлежит <math>Z</math>.* <math>X \leftarrow W \rightarrow Y</math> — : <math>X</math> влияет на <math>Y</math>, если <math>W</math> не принадлежит <math>Z</math>.* <math>X \rightarrow W \leftarrow Y</math> ('''<math>V</math>-образная структура''') — : <math>X</math> влияет на <math>Y</math>, если <math>W</math> или кто-либо из потомков <math>W</math> принадлежит <math>Z</math>, и, соответственно, <math>X</math> не влияет на <math>Y</math>, если <math>W</math> или хотя бы кто-либо из потомков <math>W</math> не принадлежит <math>Z</math>.

<math>P(D,S) = \sum\limits_{G, L, I} P(D)P(I)P(G|D,I)P(S|I)P(L|G)=</math> <math>\sum\limits_{I}P(D)P(I)P(S|I)\sum\limits_{G}(P(C|D,I)\sum\limits_{L}P(L|G))=P(D)(\sum\limits_{I}P(I)P(S|I))=\phi_1(D)\phi_2(S).</math>.

Рассмотрим пример на рисунке 2: Вершина вершина <math>L</math> <math>d</math>-отделена от всех вершин, не являющихся её потомками: в вершину <math>L</math> можно попасть из вершин <math>G</math> или <math>J</math>, так как все пути к ней от вершин, не являющихся её потомками, проходят проходящие через <math>G</math>, которая неактивны, так как <math>G</math> получила означивание, следовательно, такие пути неактивны, а пути, проходящие через <math>J</math> или , также не являются активными, так как <math>LJ</math> не являются активными, так как данные вершины не получили означивание получила означивания и образуют образует <math>v</math>-образную структурус <math>L</math> и <math>S</math> и <math>L</math> и <math>H</math>.

<math>I(G)={(X \bot Y | Z):dsep_G(X, Y|Z)}</math>, если <math>P \models I(G)</math>, <math>G</math> является '''картой независимостей''' (англ. ''Independency map (I-map)'') для <math>P</math>. <math>I(G)</math> — множество независимостей.