Изменения

|definition = '''Барицентром дерева''' (англ. ''Tree tree barycenter'') называется вершина <tex> x </tex>, у которой величина <tex>d(x) = \sum\limits_v dist(x, v) </tex> минимальна, где <tex> dist(x, v) -</tex> расстояние между вершинами <tex> x </tex> и <tex> v </tex> в рёбрах.

|statement = Пусть существуют вершины <tex> y, z -</tex> соседи вершины <tex> x </tex>. Тогда <tex> 2d(x) < d(y) + d(z) </tex>.|proof = Подвесим дерево за вершину <tex> x </tex>. Тогда дерево можно представить в виде объединения трёх непересекающихся множеств: <tex> Y, Z \ - </tex> (поддеревья с корнем корнями в вершинах <tex> y, z </tex> соответственно) и <tex> X - = V_G \setminus (Y \cup Z) </tex> остальных вершин (заметим. Заметим, что все эти множества не пустые, так как содержат вершины <tex> y, z, x </tex> соответственно). Найдём <tex> d(x) </tex>.Простой путь до вершины <tex> t \in Y </tex> из <tex> x </tex> всегда единственный и представим следующим образом:<tex> d(x) = d(\rightarrow y) + |Y| - |Z| - |X| \rightsquigarrow t</tex>. Это верноЗначит, так как все вершины из множества <tex> Y </tex> находятся от <tex> x </tex> на одно ребро дальше, чем от <tex> y </tex>, а . Аналогично все вершины из множеств <tex> Z, X </tex> наоборотближе на одно ребро к <tex> x </tex>, чем к <tex> y </tex>. Тогда <tex> d(x) = d(y) + |Y| - |Z| - |X| </tex>. Аналогично <tex> d(x) = d(z) + |Z| - |Y| - |X| </tex>. Сложим эти уравнения и получим: <tex> 2d(x) = d(y) + d(z) - 2|X| </tex>. При этом <tex> |X| > 0 </tex>. Таким образом, <tex> 2d(x) < d(y) + d(z) </tex>.

|about statement = о выпуклости Функция <tex> d(x) </tex>строго выпукла на любом пути в дереве.|statement proof = Функция Признак непрерывной строго выпуклой функции <ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Выпуклая_функция</ref>: <tex> \forall x, y \in \mathbb{R} (x \neq y) </tex> выполнено <tex> 2f(\displaystyle \frac{x+y}{2}) < f(x) + f (y) </tex>. Будем называть функцию строго выпуклой на множестве натуральных чисел, если предыдущее неравенство выполнено для всех <tex> x, y \in \mathbb{N} </tex>. Введём функцию <tex> g_p(x): \mathbb{N} \rightarrow V_G </tex>, которая по номеру вершины в пути <tex> p </tex> находит саму вершину. В дальнейшем <tex> d(a) </tex> будем считать как <tex> d(g_p(a)) </tex> для некоторого рассматриваемого пути <tex> p </tex>. Доопределим функцию <tex> d(x) </tex> из определения так, чтобы в точке <tex> a + \displaystyle \frac{1}{2} </tex>, где <tex> a \in \mathbb{N} </tex> она принимала значение, строго меньшее <tex> \displaystyle \frac{d(a)+d(a+1)}{2} </tex>. Это нужно сделать, потому что не всегда <tex> \displaystyle \frac{a+b}{2} \in \mathbb{N}</tex>. Докажем, что такая функция строго выпукла на любом множестве натуральных чисел.Есть два случая: когда расстояние между <tex> x, y </tex> четное и нечетное. Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Пусть в пути от <tex> x </tex> до <tex> y </tex>, кроме них есть только вершина <tex> z </tex>. Тогда по предыдущей лемме неравенство очевидно. Пусть есть другие вершины, кроме <tex> x, y, z </tex>, тогда их не меньше двух, так как <tex> dist(x, y) </tex> четно. Рассмотрим тогда в этом пути деревавершины, которые находятся от <tex> z </tex> на расстоянии не больше <tex> 2 </tex> (пусть они идут в порядке: <tex> a b z c d </tex>), и докажем, что неравенство всё ещё сохраняется. <tex> 4d(z) < 2d(b) + 2d(c) < d(a) + d(z) + d(z) + d (b) \Rightarrow 2d(z) < d(a) + d (b)</tex>. Так будем увеличивать расстояние от <tex> z </tex> и придём к вершинам <tex> x, y </tex>, сохраняя инвариант.

|proof= Пусть в дереве есть хотя бы <tex> 3 </tex> барицентра: <tex> a, b, c </tex>. Тогда рассмотрим путь, начинающийся в <tex> a </tex> и заканчивающийся в <tex> b </tex>. Так как <tex> d(a) = d(b) = d_{min} </tex>, и функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла, вершины <tex> a, b </tex> являются соседями. В противном случае, или в этом пути есть вершина <tex> v: d(v) < d_{min} </tex>, или для всех вершин <tex> u </tex> в пути <tex> d(u) = d_{min} </tex>. Первое предположение противоречит тому, что <tex> a, b \ - </tex> барицентры, а второе <tex> - </tex> тому, что функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла. Таким образом, вершины <tex> a, b </tex> являются соседями. Аналогично доказывается, что вершины <tex> b, c </tex> и <tex> a, c \ -</tex> соседи. Но в таком случае в дереве образовался цикл, что противоречит определению дерева. Таким образом, более <tex> 2 </tex> барицентров в дереве быть не может.

|statement= Для любого числа <tex> k </tex> существует дерево, в котором расстояние между центром и барицентром вершины дерева не меньше <tex> k </tex>|proof= Рассмотрим дерево, построенное следующим образом: к вершине дерева <tex> x </tex> подвесим <tex> n </tex> свободных вершин (в дереве они станут листьями) и бамбук, расстояние в котором от листа до <tex> x </tex> назовём числом <tex> l </tex>. Докажем, что существуют такие <tex> n, l </tex>, что расстояние между центром и барицентром не меньше <tex> k </tex>.Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные <tex> l. </tex> Назовём лист бамбука вершиной <tex> a </tex>, а центр дерева <tex>- \ c </tex>. Тогда <tex> dist(a, c) = \displaystyle \frac{l+1}{2} </tex>. Теперь будем искать, какое <tex> n </tex> стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина <tex> x </tex>. Найдём <tex> d(x) </tex>: <tex> d(x) = n + 1 + \dots + l = n + \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} </tex>. Рассмотрим вершину <tex> v \neq x </tex>. <tex> d(v) > 2(n-1) </tex>, так как все вершины, кроме <tex> x </tex> удалены хотя бы на расстояние <tex> 2 </tex> от <tex> n-1 </tex> вершины. В таком случае, <tex> d(x) < d(v) \Leftarrow n > \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} + 2 </tex>. Мы получили, что <tex> dist(c, x) = \displaystyle \frac{l-1}{2} </tex>, и <tex> x </tex> является барицентром. Найдём такие <tex> l ,</tex> что <tex> \displaystyle \frac{l-1}{2} \geqslant k</tex>. Для этого можно взять любое <tex> l \geqslant 2k + 1 </tex>. Таким образом, искомые <tex> n, l </tex> существуют.