Редактирование: Безусловный экстремум функции многих переменных

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 50: Строка 50:
 
<tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|}</tex>, приходим к записи:
 
<tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|}</tex>, приходим к записи:
 
<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex>
 
<tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex>
<tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \xi_i \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j \right)</tex>(*)
+
<tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right)</tex>(*)
  
Обращаем внимание, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1</tex>, то есть <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n </tex> {{---}} замкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество, которое является компактом в <tex>\mathbb{R}^n</tex>.
+
Обращаем внимание, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1</tex>, то есть <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n </tex> {{---}} замкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество, которое является компактом в <tex>R^n</tex>.
  
 
Так как все частные производные непрерывны, то все <tex>\alpha_{ij}</tex> стремятся к 0, если <tex>\Delta a</tex> стремится к 0.
 
Так как все частные производные непрерывны, то все <tex>\alpha_{ij}</tex> стремятся к 0, если <tex>\Delta a</tex> стремится к 0.
Строка 58: Строка 58:
  
 
Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
 
Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
Форма является строго положительно определенной, если при <tex>\forall \bar \xi  \ne 0</tex> знак суммы <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0</tex> (например,<tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2</tex>).
+
Форма является строго положительно определенной, если при <tex>\xi_i \ne 0</tex> знак суммы <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0</tex> (например,<tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2</tex>).
  
 
Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на <tex>\delta_n</tex> она {{---}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулю одновременно.
 
Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на <tex>\delta_n</tex> она {{---}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулю одновременно.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: