Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
[[Формула Тейлора для функций многих переменных|<wikitex<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]]
Считаем Так же, как и ранее, считаем, что $ \forall \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 $(непрерывная)все частные производные исследуемой функции непрерывны.
$ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \in R^n $
{{Определение|definition=Пусть задан линейный функционал <tex>y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) </tex> на <tex> V(\overline{a}) \subset R^n </tex>.Если $ при <tex>\| \Delta \overline{a} \| \le \delta</tex>, \quad <tex>\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a}) $ </tex>, то $ <tex>a $ </tex> {{--- }} '''точка локального максимума'''. Аналогично, определяется точка локального минимума.}}
{{Теорема
|about = Аналог теоремы Ферма|statement =Существует Пусть <tex>f, дифференциируемая </tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a, которая - локальный экстремум, тогда $ </tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n $ все $ : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0 $</tex>|proof = $ <tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a}) </tex><tex>=\sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) \Delta a_j + o(\Delta \overline{a}) $</tex>
$ Пусть <tex>\Delta \overline{a} = h \overline{e_j} \quad $ : (сохраняет знак из-за экстремальности точки a) $ \quad \frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h </tex>, где <tex> \overline{e_j})}{h} $ </tex> - стремится к 0 при h стремящемся к 0базисный вектор.
Поэтому предел слева имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулюТогда <tex>\frac{f(справа или слева\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a}), но по единственности предела: $ }{h}</tex><tex>= \frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0 $+ \frac{o(h \overline{e_j})}{h}</tex>
Последнее слагаемое стремится к 0 при <tex>h</tex> стремящемся к 0.Числитель дроби в левой части сохраняет знак из-за экстремальности точки <tex>a</tex>, поэтому предел дроби имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела: <tex>\frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0</tex>.}} Пусть $ <tex>y = f(\overline{x}) $</tex>, исследуем на экстремум $в <tex>\overline{a} $</tex>.
Составляем систему:
$ <tex>\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1} \overline{a} = 0\\ \dots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \overline{a} = 0 \end{cases} $</tex>
Решения {{-- стационаоные -}} стационарные точки, включают в сеья себя экстремальные. Если <tex>a </tex> {{--- }} стационарна - , то по формуле Тейлора:$ <tex>f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})</tex><tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j $</tex>
Записывая $ <tex>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) $ </tex> как $<tex>A_{ij} + \alpha_{ij} $</tex>, если $ <tex>A_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } \overline{a} $</tex>:
$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex><tex>= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta a_i \Delta a_j +\frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta a_i \Delta a_j $</tex>
$ <tex>\xi_i = \frac{\Delta a_i}{\| \Delta \overline{a} \|} $</tex>, приходим к записи:$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex><tex>= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right) $ </tex>(*)
Обращаем внимание, что $ <tex>\sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1 $</tex>, то есть $ <tex>\xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n $ </tex> {{-- -}} замкнутая сфера единичного радиуса, то есть ограниченное замкнутое множество, а, значит, компакто которое является компактом в $ <tex>\mathbb{R}^n $</tex>.
Так как все частные производные непрерывны, то все $ <tex>\alpha_{ij} $ </tex> стремятся к 0, если $ <tex>\Delta a $ </tex> стремится к 0.
Воспользуемся тем, что квадратичные формы можно классифицировать по знаку их значений.
Форма является строго положительно определенной, если при $ <tex>\xi_i forall \bar \xi \ne 0 $ </tex> знак суммы $ <tex>A_{ij} \xi_i \xi_j > 0 $ </tex> (например, $ <tex>\xi_1^2 + \dots + \xi_n^2 $ </tex>).
Будем считать, что интересующая нас форма именно такая. Но на $ <tex>\delta_n $ </tex> она {{- --}} непрерывная функция, а координаты на сфере все координаты не могут быть равны нулюодновременно.
По теореме Вейерштрасса форма принимает минимальное значение $ <tex>m > 0 $</tex>.
Вывод: $ <tex>\forall \overline{\xi} \in \delta_n \Rightarrow \sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i \xi_j $</tex>, где $ <tex>\alpha_{ij} $ - </tex> стремится к 0, а $<tex>\xi_i, \xi_j $ - </tex> ограничены - приходим . Приходим к выводу что сумма стремится к нулю.
Значит: $ <tex>\exists \delta > 0 : \| \Delta \overline{a} \| < \delta \Rightarrow \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j > -\frac12 m $</tex>
При таких $ <tex>\Delta \overline{a} $ : $ \sum A_{ij} \xi_i \xi_j + \sum \alpha_{ij} \xi_i \xi_j> \frac12 m > 0 $</tex>
Используя все в соотношении(*), получаем, что
$ <tex>\Delta f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) > \frac14 m {\|\Delta \overline{a} \|}^2 > 0 \Rightarrow \overline{a} $ - точка локального минимума. В результате: если $ df(\overline</tex> {a}) = 0$ , а $ d^2 f(\overline{a---}, \Delta \overline{a}) $, как квадратичная форма строго положительно определенная, то a - точка локального минимума.}}
В результате: если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума.
Аналогично, если квадратичеая квадратичная форма строго отрицательно определена, то <tex>a </tex> {{- --}} точка локального максимума.
Той же техникой показывают, что если $<tex>d^2f(\overline{a}, \Delta \overline{a})$ незнакоопредленная</tex> незнакоопределённая, то в точке <tex>a </tex> в ней локального экстремума нет.
Остается ситуация: $ <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a}) \ge 0 $ </tex> или $ <tex>\le 0 $ </tex> (нестрого знакоопределеннаязнакоопределённая) {{--- }} тогда проблема требует дополнительного исследования.
[[Формула Тейлора для функций многих переменных|</wikitex<]] [[Локальная теорема о неявном отображении|>>]][[Категория: Математический анализ 1 курс]]
152
правки

Навигация