Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
<wikitex>
Считаем что $ \forall j : \frac{\partial f}{\partial x_j} \in C^0 $(непрерывная)
$ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $ в $ V(\overline{a}) \in subset R^n $
Если $ \| \Delta \overline{a} \| \le \delta, \quad \delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a}) $ , то $ a $ - точка локального максимума. Аналогично, точка локального минимума.
$ \Delta \overline{a} = h \overline{e_j} \quad $ :
(сохраняет знак из-за экстремальности точки a) $ \quad \frac{f(\overline{a} + h \overline{e_j}) - f(\overline{a})}{h}
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \frac{o(h \overline{e_j})}{h} $ - стремится к 0 при $ h $ стремящемся к 0
Поэтому предел слева имеет разные знаки в зависимости от стремления к нулю(справа или слева), но по единственности предела: $ \frac{\partial f}{\partial x_j} (\overline{a}) = 0 $
Пусть $ y = f(\overline{x}) $, исследуем на экстремум в $\overline{a} $.
Составляем систему:
\end{cases} $
Решения - стационаоные стационарные точки, включают в сеья себя экстремальные. Если $ a $- стационарна - то по формуле Тейлора:
$ f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) - f(\overline{a})
= \frac12 \sum\limits_{i,j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j } (\overline{a} + \theta \Delta \overline{a}) \Delta a_i \Delta a_j $
= \frac12 {\| \Delta \overline{a} \|}^2 \left( \sum\limits_{i,j = 1}^{n} A_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j +\sum\limits_{i,j = 1}^{n} \alpha_{ij} \Delta \xi_i \Delta \xi_j \right) $ (*)
Обращаем внимание, что $ \sum\limits_{i = 1}^{n} \xi_i^2 = 1 $, то есть $ \xi = (\xi_1, \dots ,\xi_n) \in \delta_n $ - ограниченное замкнутое множество, а, значит, компакто компактно в $ R^n $.
Так как все частные производные непрерывны, то все $ \alpha_{ij} $ стремятся к 0, если $ \Delta a $ стремится к 0.
Анонимный участник

Навигация