Редактирование: Бинарное отношение

{{Определение
|definition =
'''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <math>A</math> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
<tex>R \subset A \times B</tex>.
}}

Часто используют инфиксную форму записи:
<tex>aRb, \ \langle x, y \rangle\in R</tex>.

Если отношение определено на множестве <tex>A</tex>, то возможно 
следующее определение:
{{Определение
|definition =
'''Бинарным''' (или '''двуместным''') '''отношением''' <tex>R</tex> на множестве <tex>A</tex> называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.
}}
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.

== Свойства отношений ==
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall  x \in A \  (xRx)</tex>;
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall  x \in A \  \neg(xRx)</tex>;
* [[Симметричное отношение|Симметричность]] (англ. ''symmetry''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall  x,y,z \in A \  (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;
* Связность (англ. ''connectivity''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \lor yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]] (англ. ''assymetric relation''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.

== Виды отношений ==
Выделяются следующие виды отношений:
* квазипорядка (англ. ''quasiorder'') — рефлексивное транзитивное;
* [[Отношение эквивалентности|эквивалентности]] (англ. ''equivalence'') — рефлексивное симметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|частичного порядка]] (англ. ''partial order'') — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|строгого порядка]] (англ. ''strict order'') — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|линейного порядка]] (англ. ''total order'') — полное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|доминирования]] (англ. ''dominance'') — антирефлексивное антисимметричное.

== Примеры отношений ==
*Примеры [[Рефлексивное отношение|'''рефлексивных отношений''']]: равенство, одновременность, сходство.
*Примеры [[Рефлексивное отношение|'''нерефлексивных отношений''']]: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
*Примеры [[Транзитивное отношение|'''транзитивных отношений''']]: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
*Примеры [[Симметричное отношение|'''симметричных отношений''']]: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
*Примеры [[Антисимметричное отношение|'''антисимметричных отношений''']]: больше, меньше, больше или равно.
*Примеры '''асимметричных отношений''': отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

== См. также ==
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
* [[Транзитивное_замыкание|Транзитивное замыкание]]
* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]]

== Источники информации ==
* Новиков Ф. А. {{---}} Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. {{---}} СПБ.: Питер, 2009 {{---}} 50 с.
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Википедия {{---}} Бинарное отношение]
* [http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikia {{---}} Бинарное отношение]
* [https://studfiles.net/preview/952560/page:4/ Studfiles {{---}} Лекции по дискретной математике. Отношения и их свойства]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Отношения ]]