Бинарное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Примеры отношений)
(Убран пункт "Определение", добавлены англоязычные термины, добавлены внутренние ссылки)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Бинарным отношением''' <tex>R</tex> из множества <tex>A</tex> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
+
'''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <tex>A</tex> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
 
<tex>R \subset A \times B</tex>.
 
<tex>R \subset A \times B</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 15: Строка 14:
 
}}
 
}}
 
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.
 
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.
 
== Степень отношений ==
 
Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение на множестве <tex>A</tex>.
 
{{Определение
 
|definition =
 
'''Степенью''' отношения <tex>R</tex> на множестве <tex>A</tex> называется его [[Композиция_отношений|композиция]] с самим собой:
 
 
<tex>R^n \  \stackrel{\mathrm{def}}{=} \  R_1 \circ \dots  \circ R_n</tex>.
 
 
}}
 
  
 
== Свойства отношений ==
 
== Свойства отношений ==
 
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
 
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]]: <tex>\mathcal {8} x \in A \  (xRx)</tex>;
+
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \  (xRx)</tex>;
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]]: <tex>\mathcal {8} x \in A \  (\neg xRx)</tex>;
+
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \  (\neg xRx)</tex>;
* [[Симметричное отношение|Симметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;
+
* [[Симметричное отношение|Симметричность]] (англ. ''symmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;
+
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: <tex>\mathcal {8} x,y,z \in A \  (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;
+
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\mathcal {8} x,y,z \in A \  (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;
 
* Связность: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \lor yRx)</tex>;
 
* Связность: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \lor yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]]: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.
+
* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]] (англ. ''assymetric relation''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.
  
 
== Виды отношений ==
 
== Виды отношений ==
 
Выделяются следующие виды отношений:
 
Выделяются следующие виды отношений:
 
* квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
 
* квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
* эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное;
+
* [[Отношение эквивалентности|эквивалентности]] — рефлексивное симметричное транзитивное;
* частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|частичного порядка]] — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
* строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|строгого порядка]] — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
* линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|линейного порядка]] — полное антисимметричное транзитивное;
* доминирования — антирефлексивное антисимметричное.
+
* [[Отношение порядка|доминирования]] — антирефлексивное антисимметричное.
  
 
== Примеры отношений ==
 
== Примеры отношений ==

Версия 22:25, 9 января 2014

Определение:
Бинарным отношением (англ. binary relation) [math]R[/math] из множества [math]A[/math] в множество [math]B[/math] называется подмножество прямого произведения [math]A[/math] и [math]B[/math] и обозначается: [math]R \subset A \times B[/math].


Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math].

Если отношение определено на множестве [math]A[/math], то возможно следующее определение:

Определение:
Бинарным (или двуместным) отношением [math]R[/math] на множестве [math]A[/math] называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

Примеры отношений

  • Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Примеры нерефлексивных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
  • Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
  • Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

См. также

Ссылки