748
правок
Изменения
м
== Определение ==
== Степень отношений ==
Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение на множестве <tex>A</tex>.
{{Определение
|definition =
'''Степенью''' отношения <tex>R</tex> на множестве <tex>A</tex> называется его [[Композиция_отношений|композиция]] с самим собой:
<tex>R^n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ R_1 \circ \dots \circ R_n</tex>.
}}
→Свойства отношений
{{Определение
|definition =
'''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <texmath>A</texmath> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
<tex>R \subset A \times B</tex>.
}}
}}
Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются [[Ориентированный граф|графы]] и частично упорядоченные множества.
== Свойства отношений ==
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]](англ. ''reflexivity''): <tex>\mathcal {8} forall x \in A \ (xRx)</tex>;* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]](англ. ''irreflexivity''): <tex>\mathcal {8} forall x \in A \ (\neg (xRx)</tex>;* [[Симметричное отношение|Симметричность]](англ. ''symmetry''): <tex>\mathcal {8} forall x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]](англ. ''antisymmetry''): <tex>\mathcal {8} forall x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]](англ. ''transitivity''): <tex>\mathcal {8} forall x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;* Связность(англ. ''connectivity''): <tex>\mathcal {8} forall x,y \in A \ (xRy \lor yRx)</tex>;* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]](англ. ''assymetric relation''): <tex>\mathcal {8} forall x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.
== Виды отношений ==
Выделяются следующие виды отношений:
* квазипорядка (англ. ''quasiorder'') — рефлексивное транзитивное;* [[Отношение эквивалентности |эквивалентности]] (англ. ''equivalence'') — рефлексивное симметричное транзитивное;* [[Отношение порядка|частичного порядка ]] (англ. ''partial order'') — рефлексивное антисимметричное транзитивное;* [[Отношение порядка|строгого порядка ]] (англ. ''strict order'') — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;* [[Отношение порядка|линейного порядка ]] (англ. ''total order'') — полное антисимметричное транзитивное;* [[Отношение порядка|доминирования ]] (англ. ''dominance'') — антирефлексивное антисимметричное.
== Примеры отношений ==
*Примеры [[Рефлексивное отношение|'''рефлексивных отношений''']]: равенство, одновременность, сходство.*Примеры [[Рефлексивное отношение|'''нерефлексивных отношений''']]: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».*Примеры [[Транзитивное отношение|'''транзитивных отношений''']]: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».*Примеры [[Симметричное отношение|'''симметричных отношений''']]: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).*Примеры [[Антисимметричное отношение|'''антисимметричных отношений''']]: больше, меньше, больше или равно.
*Примеры '''асимметричных отношений''': отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
== См. также ==
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
* [[Транзитивное_замыкание|Транзитивное замыкание]]
* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]]
== Ссылки Источники информации ==* Новиков Ф. А. {{---}} Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. {{---}} СПБ.: Питер, 2009 {{---}} 50 с.* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 wikipedia.org — Википедия {{---}} Бинарное отношение]* [http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 wikia.com Wikia {{--- }} Бинарное отношение]* http[https://www.studfiles.runet/dirpreview/cat14952560/subj266page:4/file9092/view94463/page2Studfiles {{---}} Лекции по дискретной математике.htmlОтношения и их свойства]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Отношения ]]
