Бинарное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Источники информации)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 11 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <tex>A</tex> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
+
'''Бинарным отношением''' (англ. ''binary relation'') <tex>R</tex> из множества <math>A</math> в множество <tex>B</tex> называется подмножество прямого произведения <tex>A</tex> и <tex>B</tex> и обозначается:
 
<tex>R \subset A \times B</tex>.
 
<tex>R \subset A \times B</tex>.
 
}}
 
}}
Строка 17: Строка 17:
 
== Свойства отношений ==
 
== Свойства отношений ==
 
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
 
Для <tex>R \subset A^2</tex> определены свойства:
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \  (xRx)</tex>;
+
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall  x \in A \  (xRx)</tex>;
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\mathcal {8} x \in A \  \neg(xRx)</tex>;
+
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall  x \in A \  \neg(xRx)</tex>;
* [[Симметричное отношение|Симметричность]] (англ. ''symmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;
+
* [[Симметричное отношение|Симметричность]] (англ. ''symmetry''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \Rightarrow yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;
+
* [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)</tex>;
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\mathcal {8} x,y,z \in A \  (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;
+
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall  x,y,z \in A \  (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)</tex>;
* Связность: <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \lor yRx)</tex>;
+
* Связность (англ. ''connectivity''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \lor yRx)</tex>;
* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]] (англ. ''assymetric relation''): <tex>\mathcal {8} x,y \in A \  (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.
+
* [[Антисимметричное отношение|Ассимметричность]] (англ. ''assymetric relation''): <tex>\forall  x,y \in A \  (xRy \Rightarrow \neg (yRx))</tex>.
  
 
== Виды отношений ==
 
== Виды отношений ==
 
Выделяются следующие виды отношений:
 
Выделяются следующие виды отношений:
* квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
+
* квазипорядка (англ. ''quasiorder'') — рефлексивное транзитивное;
* [[Отношение эквивалентности|эквивалентности]] — рефлексивное симметричное транзитивное;
+
* [[Отношение эквивалентности|эквивалентности]] (англ. ''equivalence'') — рефлексивное симметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|частичного порядка]] — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|частичного порядка]] (англ. ''partial order'') — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|строгого порядка]] — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|строгого порядка]] (англ. ''strict order'') — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|линейного порядка]] — полное антисимметричное транзитивное;
+
* [[Отношение порядка|линейного порядка]] (англ. ''total order'') — полное антисимметричное транзитивное;
* [[Отношение порядка|доминирования]] — антирефлексивное антисимметричное.
+
* [[Отношение порядка|доминирования]] (англ. ''dominance'') — антирефлексивное антисимметричное.
  
 
== Примеры отношений ==
 
== Примеры отношений ==
Строка 44: Строка 44:
 
== См. также ==
 
== См. также ==
 
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
 
* [[Композиция_отношений|Композиция отношений]]
 +
* [[Транзитивное_замыкание|Транзитивное замыкание]]
 +
* [[Отношение_порядка|Отношение порядка]]
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==

Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022

Определение:
Бинарным отношением (англ. binary relation) [math]R[/math] из множества [math]A[/math] в множество [math]B[/math] называется подмножество прямого произведения [math]A[/math] и [math]B[/math] и обозначается: [math]R \subset A \times B[/math].


Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math].

Если отношение определено на множестве [math]A[/math], то возможно следующее определение:

Определение:
Бинарным (или двуместным) отношением [math]R[/math] на множестве [math]A[/math] называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

  • квазипорядка (англ. quasiorder) — рефлексивное транзитивное;
  • эквивалентности (англ. equivalence) — рефлексивное симметричное транзитивное;
  • частичного порядка (англ. partial order) — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
  • строгого порядка (англ. strict order) — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
  • линейного порядка (англ. total order) — полное антисимметричное транзитивное;
  • доминирования (англ. dominance) — антирефлексивное антисимметричное.

Примеры отношений

См. также

Источники информации