Бинарное отношение

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Бинарным отношением R из множества A в множество B называется подмножество прямого произведения A и B и обозначается:

[math]R \subset \Alpha \times \Beta[/math]


Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ (a,b) \subset R[/math]

Если A = B то R называют бинарными отношением на множестве A:

[math]R \subset \Alpha \times \Alpha[/math]

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

  1. Рефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (xRx)[/math]
  2. Антирефлексивность: [math]\mathcal {8} x \in A \ (\neg xRx)[/math]
  3. Симметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow yRx)[/math]
  4. Антисимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \land yRx \Rightarrow x = y)[/math]
  5. Транзитивность: [math]\mathcal {8} x,y,z \in A \ (xRy \land yRz \Rightarrow xRz)[/math]
  6. Полнота(линейность): [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \lor yRx)[/math]
  7. Ассимметричность: [math]\mathcal {8} x,y \in A \ (xRy \Rightarrow \neg (yRx))[/math]

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

  • квазипорядка - рефлексивное транзитивное
  • эквивалентности - рефлексивное симметричное транзитивное
  • частичного порядка - рефлексивное антисимметричное транзитивное
  • строгого порядка -антирефлексивное антисимметричное транзитивное
  • линейного порядка -полное антисимметричное транзитивное
  • доминирования - антирефлексивное асимметричное

Степень отношения

Примеры отношений

  • Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
  • Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
  • Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).