Бинарное отношение

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определение

Определение:
Бинарным отношением [math]R[/math] из множества [math]A[/math] в множество [math]B[/math] называется подмножество прямого произведения [math]A[/math] и [math]B[/math] и обозначается: [math]R \subset A \times B[/math].


Часто используют инфиксную форму записи: [math]aRb, \ \langle x, y \rangle\in R[/math].

Если отношение определено на множестве [math]A[/math], то возможно следующее определение:

Определение:
Бинарным (или двуместным) отношением [math]R[/math] на множестве [math]A[/math] называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Степень отношений

Пусть R - отношение на множестве A.

Определение:
Степенью отношения [math]R[/math] на множестве [math]A[/math] называется его композиция с самим собой: [math]R^n \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ R_1 \circ \dots \circ R_n[/math].


Свойства отношений

Для [math]R \subset A^2[/math] определены свойства:

Виды отношений

Выделяются следующие виды отношений:

  • квазипорядка — рефлексивное транзитивное;
  • эквивалентности — рефлексивное симметричное транзитивное;
  • частичного порядка — рефлексивное антисимметричное транзитивное;
  • строгого порядка — антирефлексивное антисимметричное транзитивное;
  • линейного порядка — полное антисимметричное транзитивное;
  • доминирования — антирефлексивное антисимметричное.

Примеры отношений

  • Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
  • Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
  • Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Примеры симметричных отношений: равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Примеры антисимметричных отношений: больше, меньше, больше или равно.
  • Примеры асимметричных отношений: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

См. также

Ссылки