Изменения

|definition='''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>''' (англ. ''binomial tree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{-- -}} дерево, состоящее из одного узла высоты 0, то есть состоит из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является крайним левым дочерним узлом корня второго дерева.}}  == Свойства биномиальных деревьев == {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> вдвое больше узлов, чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет <tex>2^k \cdot 2 = 2^{k+1}</tex> узлов. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.}} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> высота больше на <tex>1</tex> (так как мы подвешиваем к текущему дереву дерево того же порядка), чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет высоту <tex>k + 1</tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>. }} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> k\choose i</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Рассмотрим <tex>i</tex> уровень дерева <tex>B_{k+1}</tex>. Дерево <tex>B_{k+1}</tex> было получено подвешиванием одного дерева порядка <tex>k</tex> к другому. Тогда на <tex>i</tex> уровне дерева <tex>B_{k+1}</tex> всего узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i} </tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex>, так как от подвешенного дерева в дерево порядка <tex>k+1</tex> нам пришли узлы глубины <tex>i-1</tex>. То для <tex>i</tex>-го уровня дерева <tex>B_{k+1}</tex> количество узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex> <tex>=</tex> <tex dpi = "160">{{k + 1}\choose i} </tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>.}}

Пример {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет корень степени <tex>k</tex>; степень всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева для ;|proof=Так как в дереве порядка <tex>k = +1</tex> степень корня больше на <tex>1</tex>, чем в дереве порядка <tex>k</tex>, а в дереве нулевого порядка степень корня <tex>0</tex>, то дерево порядка <tex>k</tex> имеет корень степени <tex>k</tex>. И так как при таком увеличении порядка (при переходе от дерева порядка <tex>k</tex> к <tex>k+1</tex>) в полученном дереве лишь степень корня возрастает, то доказываемый инвариант, 2то есть степень корня больше степени остальных вершин, 3не будет нарушаться.

'''Свойства биномиальных деревьев. '''{{УтверждениеБиномиальное дерево |statement=В биномиальном дереве <tex>B_k</tex> с <tex>n </tex> вершинами:максимальная степень произвольного узла равна <tex>\log n</tex>.|proof=*имеет Докажем это утверждение для корня. Степень остальных вершин меньше по предыдущему свойству. Так как степень корня дерева порядка <tex>2^k</tex> узлов;*имеет высоту k;*имеет ровно равна <tex>{k\choose i}</tex> , а узлов на высоте в этом дереве <tex>i n = 02^k</tex>, 1, 2то прологарифмировав обе части получаем, что <tex>k=O(\dotslog n)</tex>;*имеет корень степени k; степерь всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева;*максимальная , то степень произвольного узла в биномиальном дереве с n узлами равна не более <tex>\log(n)</tex>.}}

'''Биномиальная пирамида куча''' ([[Двоичная куча|куча]]) Hангл. ''binomial heap'' {{---}} ) представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам '''биномиальных пирамид'''.:*Каждое каждое биномиальное дерево в Н куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей пирамидыкучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойством неубывающей пирамиды кучи дерево).,*Для для любого неотрицательного целого <tex>k </tex> найдется не более одного биномиального дерева Н, чей корень имеет степень K<tex>k</tex>.}}

==== Представление биномиальных куч ====Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной пирамиде (куче) представляется набором полей:*''<tex>key'' </tex> {{---}} ключ (вес) элемента;,*''<tex>parent'' </tex> {{---}} указатель на родителя узла;,*''<tex>child'' </tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла;,*''<tex>sibling'' </tex> {{---}} указатель на правого брата узла;,*''<tex>degree'' </tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла).

Корни деревьев, их из которых состоит пирамидакуча, содержатся в так называемом '''списке корней''', при проходе по которому степени соответствующих корней находятся в неубывающем возрастающем порядке.

== Операции над биномиальными пирамидами кучами==

Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной кучей. Время работы указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{insert}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{getMinimum}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF||<tex>\mathrm{extractMin}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{merge}</tex>||<tex>\Omega(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|}Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов.

Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной пирамидой. Их асимптотические оценки показаны в таблице.{| border="1"== getMinimum === |Make_Heap |<tex>\ThetaДля нахождения минимального элемента надо найти элемент в списке корней с минимальным значением (1)</tex> |- |Insert |предполагается, что ключей, равных <tex>O(\log(n))infty</tex> |- |Minimum |<tex>O(\log(n, нет))</tex> |- |Extract_Min |<tex>\Theta(\log(n))</tex> |- |Union |<tex>\Omega(\log(n))</tex> |- |Decrease_Key |<tex>\Theta(\log(n))</tex> |- |Delete |<tex>\Theta(\log(n))</tex> |}.

=== Make_Heap ===Для создания пустой биномиальной приамиды процедура Make_Binomial_Heap просто выделяет память и возвращает объект H, где head[H] = nilТак как корней в этом списке не более <tex>\lfloor \log n \rfloor + 1</tex>, то есть пирамида не содержит элементовоперация выполняется за <tex>O(\log n)</tex>.

=== Minimum ===При вызове этой процедуры для кучи, изображенной на картинке ниже, будет возвращен указатель на вершину с ключом <tex>1</tex>. [[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]] Для нахождения минимального элемента надо найти При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент в списке корней с минимальным значением , время для этой операции может быть сведено к <tex>O(предполагается1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, что ключей, равных кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\inftylog n)</tex>, нет)не ухудшая время работы других операций. === merge ===Эта операция, соединяющая две биномиальные кучи в одну, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операций.

Асимптотика этой операции получается из тогоВот в чем состоит ее суть: пусть есть две биномиальные кучи с <tex>H</tex> и <tex>H'</tex>. Размеры деревьев в кучах соответствуют двоичным числам <tex>m</tex> и <tex>n</tex>, что корней то есть при наличии дерева соответствующего порядка в этом списке не более разряде числа стоит единица, иначе ноль. При сложении столбиком в двоичной системе происходят переносы, которые соответствуют слияниям двух биномиальных деревьев <tex>\lfloor \log(n) \rfloor + B_{k-1}</tex> в дерево <tex>B_{k}</tex>. Надо только посмотреть, в каком из сливаемых деревьев корень меньше, и считать его верхним (пример работы для одного случая приведен на рисунке справа; в другом случае подвешиваем наоборот).

При вызове этой процедуры для кучи, изображенной на картинке ниже, будет возвращен указатель на вершину с ключем 1[[Файл:helpBinaryHeapBoris.png|Пример слияние двух деревьев одного порядка]]

[[Файл:Example2Работа этой процедуры начинается с соединения корневых списков куч в единый список, в котором корневые вершины идут в порядке неубывания их степеней.jpg]]

=== Union ===Эта операцияВ получившемся списке могут встречаться пары соседних вершин одинаковой степени. Поэтому мы начинаем соединять деревья равной степени и делаем это до тех пор, пока деревьев одинаковой степени не останется. Этот процесс соответствует сложению двоичных чисел столбиком, соединяющая две биномиальные кучи в однуи время его работы пропорционально числу корневых вершин, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операцийто есть операция выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>.

[[Файл<code> '''BinomialHeap''' merge(H1 : '''BinomialHeap''', H2 : '''BinomialHeap'''):Example3 '''if''' H1 == ''null'' '''return''' H2 '''if''' H2 == ''null'' '''return''' H1 H.head = ''null'' <font color = "green"> // H {{---}} результат слияния </font> curH = H.head <font color = "green"> // слияние корневых списков </font> curH1 = H1.head curH2 = H2.head '''while''' curH1 != ''null'' '''and''' curH2 != ''null'' '''if''' curH1.degree < curH2.degree curH.sibling = curH1 curH = curH1 curH1 = curH1.sibling '''else''' curH.sibling = curH2 curH = curH2 curH2 = curH2.sibling '''if''' curH1 == ''null'' '''while''' curH2 != ''null'' curH.sibling = curH2 curH2 = curH2.sibling '''else''' '''while''' curH1 != ''null'' curH.sibling = curH1 curH1 = curH1.sibling curH = H.head <font color = "green"> // объединение деревьев одной степени </font> '''while''' curH.sibling != ''null'' '''if''' curH.degree == curH.sibling.jpg]degree p[curH]= curH.sibling tmp = curH.sibling curH.sibling = curH.sibling.child curH = tmp '''continue''' curH = curH.sibling '''return''' H</code>

Пример пирамиды до Union === insert ===Чтобы добавить новый элемент в биномиальную кучу нужно создать биномиальную кучу <tex>H'</tex> с единственным узлом, содержащим этот элемент, за время <tex>O(1)</tex> и после:объединить ее с биномиальной кучей <tex>H</tex> за <tex>O(\log n)</tex>, так как в данном случае куча <tex>H'</tex> содержит лишь одно дерево.

=== Insert ===Необходимо просто создать биномиальную пирамиду <tex>H'</tex> Приведенная ниже процедура извлекает узел с одним узлом за время <tex>O(1)</tex> минимальным ключом из биномиальной кучи и объединяет ее с биномиальной пирамидой Н, содержащей n узлов, за время <tex>O(\log(n))</tex>возвращает указатель на извлеченный узел.

=== Extract_Min ===Рассмотрим пошагово алгоритм:Приведенная ниже процедура извлекает узел * Найдем биномиальное дерево с минимальным ключом корневым значением. Предположим, что это дерево <tex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из кучи <tex>H</tex>. Иными словами, удаляем его корень из биномиальной списка корней кучи и возвращает . Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на извлеченный узелпредка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H'</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Процедура выполняется за время <tex>\Theta(\log n)</tex>, поскольку всего в списке <tex>\Theta(\log n)</tex> корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex> k </tex> порядка (с минимальным значением ключа) ровно <tex> k </tex> детей, то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\Theta(\log n)</tex>. А процесс слияния выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Таким образом, операция выполняется <tex>\Theta(\log n)</tex>. [[Файл:BinHeapExampleNew31.png|700px|Примеp извлечения минимума]]

Binomial_Heap_Extract_Min '''Node''' extractMin(H: '''BinomialHeap''') : <font color = "green">//поиск корня х с минимальным значением ключа в списке корней Н, и : </font> min = <tex>\infty</tex> x = ''null'' xBefore = ''null'' curx = H.head curxBefore = ''null'' '''while''' curx != ''null'' '''if''' curx.key < min <font color = "green"> // релаксируем текущий минимум </font> min = curx.key x = curx xBefore = curxBefore curxBefore = curx curx = curx.sibling '''if''' xBefore == ''null'' <font color = "green"> //удаление х найденного корня x из списка корней Ндеревьев кучи</font> H.head = x.sibling '''else'' ' xBefore.sibling = Make_Binomial_Heap()x.sibling Обращение порядка связанного списка дочерних узлов х H' = ''null'' <font color = "green">//построение кучи детей вершины x,при этом изменяем предка соответствующего ребенка на ''null'':</font> установка поля р каждого дочернего узла Н равным NILcurx = x.child присвоение указателю H'.head= x.child '''while''' curx != ''null'' p[Hcurx] = ''null''] адреса заголовка <font color = "green">// меняем указатель на родителя узла curx </font> curx = curx.sibling <font color = "green">// переход к следующему ребенку </font> получающегося списка H = Binomial_Heap_Unionmerge(H, H') <font color = "green">// слияние нашего дерева с деревом H' </font> '''return ''' x

Поскольку минимальный элемент находится в корневом списке, найти его легко; после его удаления соответствующее дерево рассыпается в набор биномиальных деревьев меньшего размера, который надо объединить с оставшейся частью кучи. Все действия выполняются за время <tex>O(\log n)</tex>, так что общее время работы процедуры есть <tex>O(\log n)</tex>. === Decrease_Key decreaseKey ===Следующая процедура уменьшает ключ элемента <tex>x </tex> биномиальной кучи, присваивая ему новое значение. Вершина, ключ которой был уменьшен, «всплывает» наверхкак в обычной куче. Процедура выполняется за время <tex>O\Theta(\log n)</tex>, поскольку глубина вершины <tex>x </tex> в худшем случае есть <tex>O\Theta(\log n)</tex> (свойства биномиального дерева), а при выполнении каждого шага алгоритма мы поднимаемся вверх.

Binomial_Heap_Decrease_Key '''function''' decreaseKey(H: '''BinomialHeap''', x: '''Node''', k: '''int'''): '''if ''' k > key[x] then <font color = "green">// проверка на то, что текущий ключ x не меньше передаваемого ключа k </font> '''return''' key[x] = k y = x z = p[y] '''while (''' z <tex>\ne</tex> NIL != ''null'' '''and ''' key[y] < key[z]) do<font color = "green">// поднимаем x с новым ключом k, пока это значение меньше значения в родительской вершине </font> swap(key[y], key[z]) y = z z = p[y]

Пример работы процедуры проиллюстрирован на рисунке (<tex>y </tex> {{- --}} уменьшаемый элемент, <tex>z </tex> {{--- }} его предок).

[[Файл:Example6binHeapExample3_2.jpgpng|600px370px]]

=== Delete delete ===Удаление ключа сводится к двум предыдущим операциям<math>\mathrm {decreaseKey}</math> и <math>\mathrm {extractMin}</math>: мы уменьшаем сначала нужно уменьшить ключ до минимально возможного значения, а затем удаляем извлечь вершину с минимальным ключом. В процессе выполнения процедуры это значение этот узел всплывает вверх, откуда и удаляется. Процедура выполняется за время <tex>O\Theta(\log n)</tex>, поскольку каждая из операций, которые используется в реализации, работают за <tex>\Theta(\log n)</tex>.

Binomial_Heap_Delete'''function''' delete(H: '''BinomialHeap''', x: '''Node'''): Binomial_Heap_Decrease_KeydecreaseKey(H, x, -<tex>-\infty</tex>)<font color = "green">// уменьшение ключа до минимально возможного значения </font> Binomial_Heap_Extract_MinextractMin(H) <font color = "green">// удаление "всплывшего" элемента </font>

=== Персистентность ===Биноминальную кучу можно сделать [[Персистентные структуры данных|персистентной]] при реализации на односвязных списках<ref>[https://github.com/kgeorgiy/okasaki/tree/master/Okasaki/Chapter3 Github {{---}} реализация на Haskell]</ref>. Для этого будем хранить список корней в порядке возрастания ранга, а детей будем хранить по убыванию ранга. Каждый родитель будет знать ребенка с большим рангом, который является головой списка детей, но ребенок не будет знать родителя. Односвязанные списки хороши с точки зрения функционального программирования, так как голова списка не будет достижима из потомков. Тогда при добавлениии новой версии в голову или удалении объявляя другую вершину новой головой мы не будем терять старые версии, которые останутся на месте, так как фактически односвязный список с операциями на голове это [[Персистентный стек|персистентный стек]], который является полностью персистентной функциональной структурой. При этом каждая версия будет поддерживать возможность изменения, что является полным уровнем персистентности. Также поддерживается операция <tex>\mathrm {merge}</tex> для всех версий биномиальных куч, что позволяет получать новую версию путём сливания старых. Это добавляет конфлюэнтный уровень персистентности. == См. также ==* [[Двоичная куча]]* [[Фибоначчиева куча]]* [[Левосторонняя куча]]* [[Куча Бродала-Окасаки]] ==Примечания== <references />== Источники информации ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальная_куча Википедия {{---}} Биномиальная куча]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap Wikipedia {{---}} Binomial heap]* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ INTUIT.ru |{{---}} Биномиальные кучи]* [http://enwww.wikipedialektorium.orgtv/wikilecture/Binomial_heap Wikipedia | Binomial_heap?id=14234 Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям]* Томас Х. Кормен Т, Чарльз И.Лейзерсон, Лейзерсон ЧРональд Л.Ривест, Ривест Р. Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — Сс. 538—558. 538— ISBN 5-8489-0857-558.4 [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Приоритетные очереди]][[Категория: Структуры данных‏‎]]