Изменения
Исправлены две пунктуационные ошибки.
{{Определение
|definition =
'''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>''' (англ. ''binomial tree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{---}} дерево, состоящее из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является дочерним узлом корня второго дерева.
}}
{{Утверждение
|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.
|proof=
Докажем по индукции:
{{Утверждение
|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>;.
|proof=
Докажем по индукции:
{{Утверждение
|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> k\choose i</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>;.
|proof=
Докажем по индукции:
База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно:
Рассмотрим <tex>i</tex> уровень дерева <tex>B_{k+1}</tex>. Дерево <tex>B_{k+1}</tex> было получено подвешиванием одного дерева порядка <tex>k</tex> к другому. Тогда на <tex>i</tex> уровне дерева <tex>B_{k+1}</tex> всего узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i} </tex> <tex> + </tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex>, так как от подвешенного дерева в дерево порядка <tex>k+1</tex> нам пришли узлы глубины <tex>i-1</tex>. То для <tex>i</tex>-го уровня дерева <tex>B_{k+1}</tex> количество узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> <tex> + </tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160">{{k + 1}\choose i} </tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
'''Биномиальная куча ''' (англ. ''binomial heap'') представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам:*Каждое каждое биномиальное дерево в куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей кучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойством неубывающей кучи дерево).,*Для для любого неотрицательного целого <tex>k</tex> найдется не более одного биномиального дерева, чей корень имеет степень <tex>k</tex>.}}
== Представление биномиальных куч ==
Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной куче представляется набором полей:
*<tex>key</tex> {{---}} ключ (вес) элемента;,*<tex>parent</tex> {{---}} указатель на родителя узла;,*<tex>child</tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла;,*<tex>sibling</tex> {{---}} указатель на правого брата узла;,
*<tex>degree</tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла).
Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной кучей. Время работы указано в таблице:
{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="1center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center"bgcolor=#FFFFFF |<mathtex>\mathrm {insert}</mathtex> ||<tex>O(\log n)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF |<mathtex>\mathrm {getMinimum}</mathtex> ||<tex>O(\log n)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF ||<mathtex>\mathrm {extractMin}</mathtex> ||<tex>\Theta(\log n)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF |<mathtex>\mathrm {merge}</mathtex> ||<tex>\Omega(\log n)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF |<mathtex>\mathrm {decreaseKey}</mathtex> ||<tex>\Theta(\log n)</tex> |-align="center" bgcolor=#FFFFFF |<mathtex>\mathrm {delete}</mathtex> ||<tex>\Theta(\log n)</tex> |}
Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов.
[[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]]
При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент, время для этой операции может быть сведено к <tex>O(1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\log n)</tex>, не ухудшая время работы других операций.
=== merge ===
<code>
'''NodeBinomialHeap''' merge(H1 : '''binomialHeapBinomialHeap''', H2 : '''binomialHeapBinomialHeap'''): '''if''' H1 == ''null ''
'''return''' H2
'''if''' H2 == ''null ''
'''return''' H1
H.head = ''null '' <font color = "green"> // H {{- --}} результат слияния </font>
curH = H.head <font color = "green"> // слияние корневых списков </font>
curH1 = H1.head
curH2 = H2.head
'''while''' curH1 != ''null '' '''and''' curH2 != ''null ''
'''if''' curH1.degree < curH2.degree
curH.sibling = curH1
curH = curH2
curH2 = curH2.sibling
'''if''' curH1 == ''null '' '''while''' curH2 != ''null ''
curH.sibling = curH2
curH2 = curH2.sibling
'''else'''
'''while''' curH1 != ''null ''
curH.sibling = curH1
curH1 = curH1.sibling
curH = H.head <font color = "green"> // объединение деревьев одной степени </font>
'''while''' curH.sibling != ''null ''
'''if''' curH.degree == curH.sibling.degree
p[curH] = curH.sibling
Рассмотрим пошагово алгоритм:
* Найдем биномиальное дерево с минимальным корневым значением. Предположим, что это дерево <tex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.
* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из кучи <tex>H</tex>. Иными словами , удаляем его корень из списка корней кучи. Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.
* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на предка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H'</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>.
Процедура выполняется за время <tex>\Theta(\log n)</tex>, поскольку всего в списке <tex>\Theta(\log n)</tex> корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex> k </tex> порядка (с минимальным значением ключа) ровно <tex> k </tex> детей, то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\Theta(\log n)</tex>. А процесс слияния выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Таким образом , операция выполняется <tex>\Theta(\log n)</tex>.
[[Файл:BinHeapExampleNew31.png|700px|Примеp извлечения минимума]]
<code>
'''Node''' extractMin(H : '''binomialHeapBinomialHeap''' H) : <font color = "green">//поиск корня х с минимальным значением ключа в списке корней Н: </font> min = inf<tex>\infty</tex> x = ''null'' xBefore = ''null''
curx = H.head
curxBefore = ''null'' '''while''' curx != ''null ''
'''if''' curx.key < min <font color = "green"> // релаксируем текущий минимум </font>
min = curx.key
curxBefore = curx
curx = curx.sibling
'''if''' xBefore == ''null '' <font color = "green"> //удаление найденного корня x из списка корней деревьев кучи</font>
H.head = x.sibling
'''else'''
xBefore.sibling = x.sibling
H' = ''null '' <font color = "green">//построение кучи детей вершины x, при этом изменяем предка соответствующего ребенка на ''null'':</font>
curx = x.child
H'.head = x.child
'''while''' curx != ''null '' p[curx] = ''null '' <font color = "green">// меняем указатель на родителя узла curx </font>
curx = curx.sibling <font color = "green">// переход к следующему ребенку </font>
H = merge(H, H') <font color = "green">// слияние нашего дерева с деревом H' </font>
<code>
'''function''' decreaseKey(H : '''binomialHeapBinomialHeap''' H, x : '''nodeNode''' x, k : '''int''' k) :
'''if''' k > key[x] <font color = "green">// проверка на то, что текущий ключ x не меньше передаваемого ключа k </font>
'''return'''
y = x
z = p[y]
'''while''' z != ''null '' '''and''' key[y] < key[z] <font color = "green">// поднимаем x с новым ключом k, пока это значение меньше значения в родительской вершине </font>
swap(key[y], key[z])
y = z
<code>
'''function''' delete(H : '''binomialHeapBinomialHeap''' H, x : '''nodeNode''' x) :
decreaseKey(H, x, <tex>-\infty</tex>) <font color = "green">// уменьшение ключа до минимально возможного значения </font>
extractMin(H) <font color = "green">// удаление "всплывшего" элемента </font>
</code>
=== Персистентность ===
Биноминальную кучу можно сделать [[Персистентные структуры данных|персистентной]] при реализации на односвязных списках<ref>[https://github.com/kgeorgiy/okasaki/tree/master/Okasaki/Chapter3 Github {{---}} реализация на Haskell]</ref>. Для этого будем хранить список корней в порядке возрастания ранга, а детей будем хранить по убыванию ранга. Каждый родитель будет знать ребенка с большим рангом, который является головой списка детей, но ребенок не будет знать родителя. Односвязанные списки хороши с точки зрения функционального программирования, так как голова списка не будет достижима из потомков. Тогда при добавлениии новой версии в голову или удалении объявляя другую вершину новой головой мы не будем терять старые версии, которые останутся на месте, так как фактически односвязный список с операциями на голове это [[Персистентный стек|персистентный стек]], который является полностью персистентной функциональной структурой. При этом каждая версия будет поддерживать возможность изменения, что является полным уровнем персистентности. Также поддерживается операция <tex>\mathrm {merge}</tex> для всех версий биномиальных куч, что позволяет получать новую версию путём сливания старых. Это добавляет конфлюэнтный уровень персистентности.
== См. также ==
* [[Двоичная куча]]
* [[Фибоначчиева куча]]
* [[Левосторонняя куча]]
* [[Куча Бродала-Окасаки]]
==Примечания==
<references />
== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальная_куча Википедия {{---}} Биномиальная куча]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap Wikipedia {{---}} Binomial heap]* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ Биномиальные кучи — INTUIT.ru{{---}} Биномиальные кучи]* [http://enwww.wikipedialektorium.orgtv/wikilecture/Binomial_heap Binomial heap — Wikipedia?id=14234 Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям]
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 538—558. — ISBN 5-8489-0857-4
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]
[[Категория: Структуры данных]]
