Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Биномиальная куча

2659 байт добавлено, 14:31, 17 октября 2015
Исправлены две пунктуационные ошибки.
{{Определение
|definition =
'''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>'''(англ. ''binomial heaptree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{---}} дерево, состоящее из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является дочерним узлом корня второго дерева.
}}
{{Определение
|definition=
'''Биномиальная куча ''' (англ. ''binomial heap'') представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам:*Каждое каждое биномиальное дерево в куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей кучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойством неубывающей кучи дерево).,*Для для любого неотрицательного целого <tex>k</tex> найдется не более одного биномиального дерева, чей корень имеет степень <tex>k</tex>.}}
== Представление биномиальных куч ==
Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной куче представляется набором полей:
*<tex>key</tex> {{---}} ключ (вес) элемента;,*<tex>parent</tex> {{---}} указатель на родителя узла;,*<tex>child</tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла;,*<tex>sibling</tex> {{---}} указатель на правого брата узла;,
*<tex>degree</tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла).
! Операция || Время работы
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
|<tex>\mathrm \mathtt{insert}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
|<tex>\mathrm \mathtt{getMinimum}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
||<tex>\mathrm \mathtt{extractMin}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
|<tex>\mathrm \mathtt{merge}</tex>||<tex>\Omega(\log n)</tex>
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
|<tex>\mathrm \mathtt{decreaseKey}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>
|-align="center" bgcolor=#FFFFFF
|<tex>\mathrm \mathtt{delete}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>
|}
Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов.
[[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]]
 
При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент, время для этой операции может быть сведено к <tex>O(1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\log n)</tex>, не ухудшая время работы других операций.
=== merge ===
'''return''' H
</code>
 
=== Конфлюэнтная персистентность ===
Благодаря поддержке операции <math>\mathrm {Merge}</math> биномиальная куча является конфлюэнтной структурой данных, что позволяет получать новую версию путём сливания старых.
=== insert ===
Рассмотрим пошагово алгоритм:
* Найдем биномиальное дерево с минимальным корневым значением. Предположим, что это дерево <tex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.
* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из кучи <tex>H</tex>. Иными словами , удаляем его корень из списка корней кучи. Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.
* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на предка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H'</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>.
Процедура выполняется за время <tex>\Theta(\log n)</tex>, поскольку всего в списке <tex>\Theta(\log n)</tex> корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex> k </tex> порядка (с минимальным значением ключа) ровно <tex> k </tex> детей, то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\Theta(\log n)</tex>. А процесс слияния выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Таким образом , операция выполняется <tex>\Theta(\log n)</tex>.
[[Файл:BinHeapExampleNew31.png|700px|Примеp извлечения минимума]]
extractMin(H) <font color = "green">// удаление "всплывшего" элемента </font>
</code>
 
=== Персистентность ===
Биноминальную кучу можно сделать [[Персистентные структуры данных|персистентной]] при реализации на односвязных списках<ref>[https://github.com/kgeorgiy/okasaki/tree/master/Okasaki/Chapter3 Github {{---}} реализация на Haskell]</ref>. Для этого будем хранить список корней в порядке возрастания ранга, а детей будем хранить по убыванию ранга. Каждый родитель будет знать ребенка с большим рангом, который является головой списка детей, но ребенок не будет знать родителя. Односвязанные списки хороши с точки зрения функционального программирования, так как голова списка не будет достижима из потомков. Тогда при добавлениии новой версии в голову или удалении объявляя другую вершину новой головой мы не будем терять старые версии, которые останутся на месте, так как фактически односвязный список с операциями на голове это [[Персистентный стек|персистентный стек]], который является полностью персистентной функциональной структурой. При этом каждая версия будет поддерживать возможность изменения, что является полным уровнем персистентности. Также поддерживается операция <tex>\mathrm {merge}</tex> для всех версий биномиальных куч, что позволяет получать новую версию путём сливания старых. Это добавляет конфлюэнтный уровень персистентности.
== См. также ==
* [[Куча Бродала-Окасаки]]
==Примечания==
 
<references />
== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальная_куча Википедия {{---}} Биномиальная куча]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap Wikipedia {{---}} Binomial heap]
* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ INTUIT.ru {{---}} Биномиальные кучи]
* [http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14234 Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям]
* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 538—558. — ISBN 5-8489-0857-4
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Приоритетные очереди]]
[[Категория: Структуры данных‏‎]]
Анонимный участник

Навигация