Изменения

|definition='''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>''' (англ. ''binomial tree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{--- }} дерево, состоящее из одного узла высоты 0, то есть состоит из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является крайним левым дочерним узлом корня второго дерева.}}''' == Свойства биномиальных деревьев. '''== {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n </tex> вершинамиимеет <tex>2^k</tex> узлов.|proof=Докажем по индукции:*База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> вдвое больше узлов, чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет <tex>2^k\cdot 2 = 2^{k+1}</tex> узлов;. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.}} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: *Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> высота больше на <tex>1</tex> (так как мы подвешиваем к текущему дереву дерево того же порядка), чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет высоту <tex>k + 1</tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k;</tex>. }} {{Утверждение*|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <texdpi = "165">{k\choose i}</tex> узлов на высоте <tex>i </tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 01</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Рассмотрим <tex>i</tex> уровень дерева <tex>B_{k+1}</tex>. Дерево <tex>B_{k+1}</tex> было получено подвешиванием одного дерева порядка <tex>k</tex> к другому. Тогда на <tex>i</tex> уровне дерева <tex>B_{k+1}</tex> всего узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i} </tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex>, 2так как от подвешенного дерева в дерево порядка <tex>k+1</tex> нам пришли узлы глубины <tex>i-1</tex>. То для <tex>i</tex>-го уровня дерева <tex>B_{k+1}</tex> количество узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex> <tex>=</tex> <tex dpi = "160">{{k + 1}\choose i} </tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> {k\dotschoose i}</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>;.}} {{Утверждение*|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет корень степени <tex>k</tex>; степерь степень всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева. Кроме того, если дочерние узлы ;|proof=Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> степень корня пронумеровать слева направо числами больше на <tex> k - 1</tex>, чем в дереве порядка <tex>k - 2, \dots</tex>, а в дереве нулевого порядка степень корня <tex>0</tex>, то i-й дочерний узел корня является корнем биномиального дерево порядка <tex>k</tex> имеет корень степени <tex>k</tex>. И так как при таком увеличении порядка (при переходе от дерева порядка <tex>k</tex> к <tex>B_ik+1</tex>) в полученном дереве лишь степень корня возрастает, то доказываемый инвариант, то есть степень корня больше степени остальных вершин, не будет нарушаться. }} {{Утверждение*|statement=В биномиальном дереве <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами максимальная степень произвольного узла равна <tex>\log n</tex>.|proof=Докажем это утверждение для корня. Степень остальных вершин меньше по предыдущему свойству. Так как степень корня дерева порядка <tex>k</tex> равна <tex>k</tex>, а узлов в биномиальном этом дереве с <tex>n узлами равна = 2^k</tex>, то прологарифмировав обе части получаем, что <tex>k=O(\lg (log n)</tex>, то степень произвольного узла не более <tex>\log n</tex>.}} = Биномиальная куча=

'''Биномиальная пирамида Hкуча''' (англ. ''binomial heap'' {{---}} ) представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам '''биномиальных пирамид'''.:*Каждое каждое биномиальное дерево в Н куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей пирамидыкучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойсвом свойством неубывающей прирамиды кучи дерево).,* Для для любого неотрицательного целого <tex>k </tex> найдется не более одного биномиального дерева Н, чей корень имеет степень K<tex>k</tex>.}} == Представление биномиальных куч ==Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной куче представляется набором полей:*<tex>key</tex> {{---}} ключ (вес) элемента,*<tex>parent</tex> {{---}} указатель на родителя узла,*<tex>child</tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла,*<tex>sibling</tex> {{---}} указатель на правого брата узла,*<tex>degree</tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла). Корни деревьев, из которых состоит куча, содержатся в так называемом '''списке корней''', при проходе по которому степени соответствующих корней находятся в возрастающем порядке.Доступ к куче осуществляется ссылкой на первый корень в списке корней. == Операции над биномиальными кучами== Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной кучей. Время работы указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{insert}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{getMinimum}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF||<tex>\mathrm{extractMin}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{merge}</tex>||<tex>\Omega(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|}Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов. === getMinimum ===Для нахождения минимального элемента надо найти элемент в списке корней с минимальным значением (предполагается, что ключей, равных <tex>\infty</tex>, нет). Так как корней в этом списке не более <tex>\lfloor \log n \rfloor + 1</tex>, то операция выполняется за <tex>O(\log n)</tex>. При вызове этой процедуры для кучи, изображенной на картинке ниже, будет возвращен указатель на вершину с ключом <tex>1</tex>. [[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]] При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент, время для этой операции может быть сведено к <tex>O(1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\log n)</tex>, не ухудшая время работы других операций. === merge ===Эта операция, соединяющая две биномиальные кучи в одну, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операций. Вот в чем состоит ее суть: пусть есть две биномиальные кучи с <tex>H</tex> и <tex>H'</tex>.Размеры деревьев в кучах соответствуют двоичным числам <tex>m</tex> и <tex>n</tex>, то есть при наличии дерева соответствующего порядка в этом разряде числа стоит единица, иначе ноль. При сложении столбиком в двоичной системе происходят переносы, которые соответствуют слияниям двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex> в дерево <tex>B_{k}</tex>. Надо только посмотреть, в каком из сливаемых деревьев корень меньше, и считать его верхним (пример работы для одного случая приведен на рисунке справа; в другом случае подвешиваем наоборот).

==== Представление биномиальных куч ====Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной пирамиде (куче) представляется набором полей[[Файл:*''key'' {{---}} ключ (вес) элемента;*''parent'' {{---}} указатель на родителя узла;*''child'' {{---}} указатель на левого ребенка узла;*''sibling'' {{---}} указатель на правого брата узла;*''degree'' {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла)helpBinaryHeapBoris.png|Пример слияние двух деревьев одного порядка]]

Доступ к куче осуществляется ссылкой на самое левое поддеревоРабота этой процедуры начинается с соединения корневых списков куч в единый список, в котором корневые вершины идут в порядке неубывания их степеней. В получившемся списке могут встречаться пары соседних вершин одинаковой степени. Корни Поэтому мы начинаем соединять деревья равной степени и делаем это до тех пор, пока деревьеводинаковой степени не останется. Этот процесс соответствует сложению двоичных чисел столбиком, из которых составлена кучаи время его работы пропорционально числу корневых вершин, оказываются организованными с помощью поля ''sibling'' в так называемый корневой односвязный списокто есть операция выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>.

Binomial_Yeap_Minimum '''BinomialHeap''' merge(HH1 : '''BinomialHeap''', H2 : '''BinomialHeap'''): y '''if''' H1 == NIL''null'' '''return''' H2 x '''if''' H2 == ''null'' '''return''' H1 H.head[= ''null'' <font color = "green"> // H]{{---}} результат слияния </font> min curH = H.head <texfont color = "green">\infty// слияние корневых списков </texfont> curH1 = H1.head curH2 = H2.head '''while x ''' curH1 != ''null'' '''and''' curH2 != ''null'' '''if''' curH1.degree <texcurH2.degree curH.sibling = curH1 curH = curH1 curH1 = curH1.sibling '''else''' curH.sibling = curH2 curH = curH2 curH2 = curH2.sibling '''if''' curH1 == ''null'' '''while''' curH2 != ''null'' curH.sibling = curH2 curH2 = curH2.sibling '''else''' '''while''' curH1 != ''null'' curH.sibling = curH1 curH1 = curH1.sibling curH = H.head <font color = "green">\ne// объединение деревьев одной степени </texfont> NIL do '''while''' curH.sibling != ''null'' '''if key''' curH.degree == curH.sibling.degree p[xcurH] < min then= curH.sibling tmp = curH.sibling curH.sibling = curH.sibling.child y curH = xtmp x '''continue''' curH = curH.sibling[x] '''return y ''' H</code> === insert ===Чтобы добавить новый элемент в биномиальную кучу нужно создать биномиальную кучу <tex>H'</tex> с единственным узлом, содержащим этот элемент, за время <tex>O(1)</tex> и объединить ее с биномиальной кучей <tex>H</tex> за <tex>O(\log n)</tex>, так как в данном случае куча <tex>H'</tex> содержит лишь одно дерево. === extractMin === Приведенная ниже процедура извлекает узел с минимальным ключом из биномиальной кучи и возвращает указатель на извлеченный узел.  Рассмотрим пошагово алгоритм:* Найдем биномиальное дерево с минимальным корневым значением. Предположим, что это дерево <tex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из кучи <tex>H</tex>. Иными словами, удаляем его корень из списка корней кучи. Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на предка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H'</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Процедура выполняется за время <tex>\Theta(\log n)</tex>, поскольку всего в списке <tex>\Theta(\log n)</tex> корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex> k </tex> порядка (с минимальным значением ключа) ровно <tex> k </tex> детей, то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\Theta(\log n)</tex>. А процесс слияния выполняется за <tex>\Omega(\log n)</tex>. Таким образом, операция выполняется <tex>\Theta(\log n)</tex>.