Изменения

|definition='''Биномиальное дерево <tex>B_k</tex>''' (англ. ''binomial tree'') {{---}} [[Дерево, эквивалентные определения|дерево]], определяемое для каждого <tex>k = 0, 1, 2, \dots </tex> следующим образом: <tex>B_0</tex> {{-- -}} дерево, состоящее из одного узла высоты 0, то есть состоит из одного узла; <tex>B_k</tex> состоит из двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex>, связанны связанных вместе таким образом, что корень одного из них является крайним левым дочерним узлом корня второго дерева.}}  == Свойства биномиальных деревьев == {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> вдвое больше узлов, чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет <tex>2^k \cdot 2 = 2^{k+1}</tex> узлов. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет <tex>2^k</tex> узлов.}} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> высота больше на <tex>1</tex> (так как мы подвешиваем к текущему дереву дерево того же порядка), чем в дереве порядка <tex>k</tex>, то дерево порядка <tex>k+1</tex> имеет высоту <tex>k + 1</tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет высоту <tex>k</tex>. }} {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> k\choose i</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>.|proof=Докажем по индукции: База <tex>k = 1</tex> {{---}} верно. Пусть для некоторого <tex>k </tex> условие верно, то докажем, что для <tex>k + 1</tex> это также верно: Рассмотрим <tex>i</tex> уровень дерева <tex>B_{k+1}</tex>. Дерево <tex>B_{k+1}</tex> было получено подвешиванием одного дерева порядка <tex>k</tex> к другому. Тогда на <tex>i</tex> уровне дерева <tex>B_{k+1}</tex> всего узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i} </tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex>, так как от подвешенного дерева в дерево порядка <tex>k+1</tex> нам пришли узлы глубины <tex>i-1</tex>. То для <tex>i</tex>-го уровня дерева <tex>B_{k+1}</tex> количество узлов <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> <tex>+</tex> <tex dpi = "165">{k\choose {i - 1}}</tex> <tex>=</tex> <tex dpi = "160">{{k + 1}\choose i} </tex>. Переход доказан, то биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет ровно <tex dpi = "165"> {k\choose i}</tex> узлов на высоте <tex>i</tex>.}}

Пример {{Утверждение|statement=Биномиальное дерево <tex>B_k</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет корень степени <tex>k</tex>; степень всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева для ;|proof=Так как в дереве порядка <tex>k+1</tex> степень корня больше на <tex>1</tex>, чем в дереве порядка <tex>k = </tex>, а в дереве нулевого порядка степень корня <tex>0</tex>, то дерево порядка <tex>k</tex> имеет корень степени <tex>k</tex>. И так как при таком увеличении порядка (при переходе от дерева порядка <tex>k</tex> к <tex>k+1</tex>) в полученном дереве лишь степень корня возрастает, то доказываемый инвариант, то есть степень корня больше степени остальных вершин, 2не будет нарушаться.

'''Свойства биномиальных деревьев. '''{{УтверждениеБиномиальное дерево |statement=В биномиальном дереве <tex>B_k</tex> с <tex>n </tex> вершинами:максимальная степень произвольного узла равна <tex>\log n</tex>.|proof=*имеет Докажем это утверждение для корня. Степень остальных вершин меньше по предыдущему свойству. Так как степень корня дерева порядка <tex>2^k</tex> узлов;*имеет высоту k;*имеет ровно равна <tex>{k\choose i}</tex> , а узлов на высоте в этом дереве <tex>i n = 02^k</tex>, 1, 2то прологарифмировав обе части получаем, что <tex>k=O(\dotslog n)</tex>;*имеет корень степени k; степерь всех остальных вершин меньше степени корня биномиального дерева;*максимальная , то степень произвольного узла в биномиальном дереве с n узлами равна не более <tex>\log(n)</tex>.}}

'''Биномиальная пирамида куча''' ([[Двоичная куча|куча]]) Hангл. ''binomial heap'' {{---}} ) представляет собой множество биномиальных деревьев, которые удовлетворяют следующим свойствам '''биномиальных пирамид'''.:*Каждое каждое биномиальное дерево в Н куче подчиняется свойству '''[[Двоичная куча|неубывающей пирамидыкучи]]''': ключ узла не меньше ключа его родительского узла (упорядоченное в соответствии со свойсвом свойством неубывающей прирамиды кучи дерево).,*Для для любого неотрицательного целого <tex>k </tex> найдется не более одного биномиального дерева Н, чей корень имеет степень K<tex>k</tex>.}}

==== Представление биномиальных куч ====Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной пирамиде (куче) представляется набором полей:*''<tex>key'' </tex> {{---}} ключ (вес) элемента;,*''<tex>parent'' </tex> {{---}} указатель на родителя узла;,*''<tex>child'' </tex> {{---}} указатель на левого ребенка узла;,*''<tex>sibling'' </tex> {{---}} указатель на правого брата узла;,*''<tex>degree'' </tex> {{---}} степень узла (количество дочерних узлов данного узла).

Корни деревьев, их из которых состоит пирамидакуча, содержатся в так называемом '''списке корней''', при проходе по которому степени соответствующих корней находятся в неубывающем возрастающем порядке.

== Операции над биномиальными пирамидами кучами== Рассмотрим операции, которые можно производить с биномиальной кучей. Время работы указано в таблице:{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF! Операция || Время работы |-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{insert}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{getMinimum}</tex>||<tex>O(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF||<tex>\mathrm{extractMin}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{merge}</tex>||<tex>\Omega(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{decreaseKey}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF|<tex>\mathrm{delete}</tex>||<tex>\Theta(\log n)</tex>|}Обозначим нашу кучу за <tex>H</tex>. То пусть <tex>H.head</tex> {{---}} указатель на корень биномиального дерева минимального порядка этой кучи. Изначально <tex>H.head = null</tex>, то есть куча не содержит элементов. === getMinimum ===Для нахождения минимального элемента надо найти элемент в списке корней с минимальным значением (предполагается, что ключей, равных <tex>\infty</tex>, нет).

Рассмотрим операцииПри вызове этой процедуры для кучи, которые можно производить изображенной на картинке ниже, будет возвращен указатель на вершину с биномиальной пирамидой. Их асимптотические оценки показаны в таблице.{| border="1" |Make_Heap |ключом <tex>\Theta(1)</tex> |- |Insert |<tex>O(\log(n))</tex> |- |Minimum |<tex>O(\log(n))</tex> |- |Extract_Min |<tex>\Theta(\lоg(n))</tex> |- |Union |<tex>\Omega(\lоg(n))</tex> |- |Decrease_Key |<tex>\Theta(\lоg(n))</tex> |- |Delete |<tex>\Theta(\lоg(n))</tex> |}.

=== Make_Heap ===Для создания пустой биномиальной приамиды процедура Make_Binomial_Heap просто выделяет память и возвращает объект H, где head[H[Файл:binHeapExample1_1.png|370px]] = nil, то есть пирамида не содержит элементов.

При использовании указателя на биномиальное дерево, которое содержит минимальный элемент, время для этой операции может быть сведено к <tex>O(1)</tex>. Указатель должен обновляться при выполнении любой операции, кроме <tex>\mathrm{getMinimum}</tex>. Это может быть сделано за <tex>O(\log n)</tex>, не ухудшая время работы других операций. === Minimum merge ===Для нахождения минимального элемента надо найти элемент Эта операция, соединяющая две биномиальные кучи в одну, используется в качестве подпрограммы большинством остальных операций. Вот в списке корней чем состоит ее суть: пусть есть две биномиальные кучи с минимальным значением (предполагается<tex>H</tex> и <tex>H'</tex>. Размеры деревьев в кучах соответствуют двоичным числам <tex>m</tex> и <tex>n</tex>, то есть при наличии дерева соответствующего порядка в этом разряде числа стоит единица, что ключейиначе ноль. При сложении столбиком в двоичной системе происходят переносы, равных которые соответствуют слияниям двух биномиальных деревьев <tex>B_{k-1}</tex> в дерево <tex>\inftyB_{k}</tex>. Надо только посмотреть, в каком из сливаемых деревьев корень меньше, нети считать его верхним (пример работы для одного случая приведен на рисунке справа; в другом случае подвешиваем наоборот). [[Файл:helpBinaryHeapBoris.png|Пример слияние двух деревьев одного порядка]] Работа этой процедуры начинается с соединения корневых списков куч в единый список, в котором корневые вершины идут в порядке неубывания их степеней.

Асимптотика этой операции получается из тогоВ получившемся списке могут встречаться пары соседних вершин одинаковой степени. Поэтому мы начинаем соединять деревья равной степени и делаем это до тех пор, что корней в этом списке пока деревьев одинаковой степени не более останется. Этот процесс соответствует сложению двоичных чисел столбиком, и время его работы пропорционально числу корневых вершин, то есть операция выполняется за <tex>\lfloor Omega(\log(n) \rfloor + 1</tex>.

Binomial_Link '''BinomialHeap''' merge(yH1 : '''BinomialHeap''', zH2 : '''BinomialHeap'''): p[y] '''if''' H1 == ''null'' '''return''' H2 '''if''' H2 == ''null'' '''return''' H1 H.head = ''null'' <font color = "green"> // H {{---}} результат слияния </font> curH = H.head <font color = "green"> // слияние корневых списков </font> curH1 = H1.head curH2 = H2.head '''while''' curH1 != ''null'' '''and''' curH2 != ''null'' '''if''' curH1.degree < curH2.degree curH.sibling = curH1 curH = curH1 curH1 = curH1.sibling '''else''' curH.sibling = curH2 curH = curH2 curH2 = curH2.sibling '''if''' curH1 == ''null'' '''while''' curH2 != ''null'' curH.sibling = curH2 curH2 = zcurH2.sibling '''else''' '''while''' curH1 != ''null'' curH.sibling[y] = child[z]curH1 curH1 = curH1.sibling child[z] curH = H.head <font color = y"green"> // объединение деревьев одной степени </font> '''while''' curH.sibling != ''null'' '''if''' curH.degree== curH.sibling.degree p[zcurH]++= curH.sibling tmp = curH.sibling curH.sibling = curH.sibling.child curH = tmp '''continue''' curH = curH.sibling '''return''' H

Приведенная далее процедура сливает биномиальные кучи === insert ===Чтобы добавить новый элемент в биномиальную кучу нужно создать биномиальную кучу <tex>H_1H'</tex> с единственным узлом, H_2содержащим этот элемент, за время <tex>O(1)</tex>, возвращая получаемую в результате биномиальную прирамиду. и объединить ее с биномиальной кучей <tex>H_1, H_2H</tex> удаляются. Процедура Binomial_Heap_Merge сливает списки корней за <tex>H_1, H_2O(\log n)</tex> в единый связный список, отсортированный по степеням так как в монотонно возрастающем порядкеданном случае куча <tex>H'</tex> содержит лишь одно дерево. === extractMin ===

Приведенная ниже процедура извлекает узел с минимальным ключом из биномиальной кучи и возвращает указатель на извлеченный узел.  Рассмотрим пошагово алгоритм:* Найдем биномиальное дерево с минимальным корневым значением. Предположим, что это дерево <codetex>B_k</tex>. Время работы этого шага алгоритма <tex>\Theta(\log n)</tex>.* Удаляем дерево <tex>B_k</tex> из кучи <tex>H</tex>. Иными словами, удаляем его корень из списка корней кучи. Это можно сделать за время <tex>O(1)</tex>.* Пусть <tex>H'</tex> {{---}} куча детей найденного корня. При этом мы для каждого из ребенка устанавливаем указатель на предка равным <tex>null</tex>. После этого сливаем кучу <tex>H'</tex> c <tex>H</tex> за <tex>\Omega(\log n)</tex>.

Binomial_Heap_UnionПроцедура выполняется за время <tex>\Theta(\log n)</tex>H_1, H_2поскольку всего в списке </tex>) H = Make_Binomial_Heap\Theta(\log n) head[H] = Binomial_Heap_Merge(</tex> корней биномиальных деревьев. И всего у найденного дерева <tex>H_1, H_2k </tex>порядка (с минимальным значением ключа) delete ровно <tex>H_1, H_2k </tex> //удаление объектов, но не списковдетей, на которые они указывают if head[H] = NIL then return H prex_x = NIL x = head[H] next_x = sibling[x] while next_x то сложность перебора этих детей будет тоже <tex>\neTheta(\log n)</tex> NIL do if (degree[x] . А процесс слияния выполняется за <tex>\neOmega(\log n)</tex> degree[next_x]) or (sibling[next_x] . Таким образом, операция выполняется <tex>\ne</tex> NIL and degree[sibling[next_x]] = degree[x]) then prex_x = x else if key[x] <= key[next_x] then sibling[x] = sibling[next_x] Binomial_LinkTheta(next_x, x\log n) else if prev_x = NIL then head[H] = next_x else sibling[prev_x] = next_x Binomial_Link(x, next_x) x = next_x next_x = sibling[x]</codetex>.

=== Inset ===Приведенная ниже процедура вставляет узел х в биномиальную пирамиду Н (предполагается, что для х уже выделена память и поле key[x[Файл:BinHeapExampleNew31.png|700px|Примеp извлечения минимума]] уже заполнено):

Binomial_Heap_Insert '''Node''' extractMin(H, : '''BinomialHeap'''): <font color = "green">//поиск корня х с минимальным значением ключа в списке корней Н: </font> min = <tex>\infty</tex> x)= ''null'' xBefore = ''null'' curx = H.head curxBefore = ''null'' '''while''' curx != Make_Binpmial_Heap''null'' p[ '''if''' curx.key < min <font color = "green"> // релаксируем текущий минимум </font> min = curx.key x] = NILcurx xBefore = curxBefore curxBefore = curx curx = curx.sibling child['''if''' xBefore == ''null'' <font color = "green"> //удаление найденного корня x] из списка корней деревьев кучи</font> H.head = NILx.sibling '''else''' xBefore.sibling[= x] .sibling H' = ''null'' <font color = NIL"green">//построение кучи детей вершины x, при этом изменяем предка соответствующего ребенка на ''null'':</font> degree[curx = x] .child H'.head = 0x.child head'''while''' curx != ''null'' p[Hcurx] = ''null''] <font color = "green">// меняем указатель на родителя узла curx </font> curx = curx.sibling <font color = x"green">// переход к следующему ребенку </font> H = Binomial_Heap_Unionmerge(H, H') <font color = "green">// слияние нашего дерева с деревом H' </font> '''return''' x

=== decreaseKey ===Следующая процедура уменьшает ключ элемента <tex>x</tex> биномиальной кучи, присваивая ему новое значение. Вершина, ключ которой был уменьшен, «всплывает» как в обычной куче. Процедура просто создает биномиальную пирамиду H' с одним узлом выполняется за время О<tex>\Theta(1\log n) и объединяет ее с биномиальной пирамидой Н, содержащей n узлов</tex>, за время О(lgпоскольку глубина вершины <tex>x</tex> в худшем случае есть <tex>\Theta(\log n)</tex> (свойства биномиального дерева), а при выполнении каждого шага алгоритма мы поднимаемся вверх. === Extract_Min ===Приведенная ниже процедура извлекает узел с минимальным ключок из биномиальной кучи и возвращает указатель на извлеченный узел:

Binomial_Heap_Extract_Min '''function''' decreaseKey(H: '''BinomialHeap''', x : '''Node''', k : '''int'''): поиск корня х с минимальным значением '''if''' k > key[x] <font color = "green">// проверка на то, что текущий ключ x не меньше передаваемого ключа в списке корней Н, и удаление х из корней Нk </font> H '''return''' key[x] = Make_Binomial_Heap()k Обращение порядка связанного списка дочерних узлов х, y = x установка поля р каждого дочернего узла Н равным NIL z = p[y] присвоение указателю head '''while''' z != ''null'' '''and''' key[y] < key[H'z] адреса заголовка получающегося списка<font color = "green">// поднимаем x с новым ключом k, пока это значение меньше значения в родительской вершине </font> H = Binomial_Heap_Union swap(Hkey[y], H'key[z]) return x y = z z = p[y]

Поскольку минимальный Пример работы процедуры проиллюстрирован на рисунке (<tex>y</tex> {{---}} уменьшаемый элемент находится в корневом списке, найти <tex>z</tex> {{---}} его легко; после его удаления соответствующее дерево рассыпается в набор биномиальных деревьев меньшего размера, который надо объединить с оставшейся частью кучипредок). Все действия выполняются за время O(lgn), так что общее время работы процедуры есть O(lgn)[[Файл:binHeapExample3_2.png|370px]]

=== Decrease_Key delete ===Следующая процедура уменьшает Удаление ключа сводится к операциям <math>\mathrm {decreaseKey}</math> и <math>\mathrm {extractMin}</math>: сначала нужно уменьшить ключ элемента х биномиальной кучидо минимально возможного значения, присваивая ему новое значениеа затем извлечь вершину с минимальным ключом. Вершина, ключ которой был уменьшенВ процессе выполнения процедуры этот узел всплывает вверх, «всплывает» наверхоткуда и удаляется. Процедура выполняется за время O<tex>\Theta(lgn\log n)</tex>, поскольку глубина вершины х есть O(lgn) каждая из операций, которые используется в реализации, работают за <tex>\Theta(свойства биномиального дерева\log n), а при выполнении каждого шага алгоритма мы поднимаемся вверх</tex>.

Binomial_Heap_Decrease_Key'''function''' delete(H: '''BinomialHeap''', x, k: '''Node'''): if k > key[decreaseKey(H, x] then return key[x] = k y = x z = p[y] while (z , <tex>-\neinfty</tex> NIL and key[y] ) < key[z]) dofont color = "green">// уменьшение ключа до минимально возможного значения </font> swap extractMin(key[y], key[z]H) y <font color = z z = p[y]"green">// удаление "всплывшего" элемента </font>

=== Delete Персистентность ===Удаление ключа сводится к двум предыдущим операциямБиноминальную кучу можно сделать [[Персистентные структуры данных|персистентной]] при реализации на односвязных списках<ref>[https: мы уменьшаем ключ до минимально возможного значения//github.com/kgeorgiy/okasaki/tree/master/Okasaki/Chapter3 Github {{---}} реализация на Haskell]</ref>. Для этого будем хранить список корней в порядке возрастания ранга, а затем удаляем детей будем хранить по убыванию ранга. Каждый родитель будет знать ребенка с большим рангом, который является головой списка детей, но ребенок не будет знать родителя. Односвязанные списки хороши с точки зрения функционального программирования, так как голова списка не будет достижима из потомков. Тогда при добавлениии новой версии в голову или удалении объявляя другую вершину новой головой мы не будем терять старые версии, которые останутся на месте, так как фактически односвязный список с минимальным ключомоперациями на голове это [[Персистентный стек|персистентный стек]], который является полностью персистентной функциональной структурой. При этом каждая версия будет поддерживать возможность изменения, что является полным уровнем персистентности. В процессе выполнения процедуры это значение всплывает вверхТакже поддерживается операция <tex>\mathrm {merge}</tex> для всех версий биномиальных куч, откуда и удаляетсячто позволяет получать новую версию путём сливания старых. Процедура выполняется за время O(lgn)Это добавляет конфлюэнтный уровень персистентности. == См. также ==* [[Двоичная куча]]* [[Фибоначчиева куча]]* [[Левосторонняя куча]]* [[Куча Бродала-Окасаки]] ==Примечания==

<codereferences /> Binomial_Heap_Delete(H, x)== Источники информации == Binomial_Heap_Decrease_Key(H, x, * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Биномиальная_куча Википедия {{---<tex>\infty<}} Биномиальная куча]* [http://en.wikipedia.org/wiki/tex>)Binomial_heap Wikipedia {{---}} Binomial heap] Binomial_Heap_Extract_Min(H)* [http://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ INTUIT.ru {{---}} Биномиальные кучи]<* [http:/code>/www.lektorium.tv/lecture/?id=14234 Лекция А.С. Станкевича по приоритетным очередям]* Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 538—558. — ISBN 5-8489-0857-4

== Источники ==[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]----* [http[Категория://www.intuit.ru/department/algorithms/dscm/7/ INTUIT.ru |Биномиальные кучиПриоритетные очереди]]* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы[[Категория: построение и анализ. — 2-е изд. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. — С. 538-558.Структуры данных‏‎]]