89
правок
Изменения
→Связь с многочленами (за O(k^2 \cdot \log n))
Пусть нам дана [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности#def_linear.|линейная рекуррентная последовательность]] (далее ЛРП) порядка <tex>k</tex>. А именно: <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + c_2 \cdot a_{n - 2} + \cdots + c_k \cdot a_{n - k}</tex> при <tex>n \geqslant k</tex>, а так же заданы <tex>k</tex> первых членов последовательности. Требуется уметь вычислять произвольное <tex>a_n</tex>.
Самый простой способ сделать это {{---}} последовательно считать каждый <tex>a_i</tex>, пока <tex>i</tex> не станет равен <tex>n</tex>. Однако этот способ не самый эффективный, он, очевидно, требует <tex>O(n \cdot k)</tex> времени, но можно сделать это быстрее. Рассмотрим два способа это сделать.
== Умножение матриц (за <tex>O(k^3 \cdot \log n)</tex>) ==
Заметим, что линейные рекурренты ЛРП хорошо выражаются через матрицы. Запишем наши первые <tex>k</tex> членов последовательности в столбик.
<tex>A_0 = \begin{pmatrix}
a_{k - 1}\\
\end{pmatrix}</tex>
Заметим, что умножив <tex>A_0T</tex> слева на <tex>TA_0</tex>, мы получим столбик <tex>A_1</tex> следующего вида:
<tex>A_1 = T \cdot A_0 = \begin{pmatrix}
a_{k}\\
a_1
\end{pmatrix}</tex>
Аналогично, домножив <tex>A_1T</tex> слева на <tex>TA_1</tex>, получим
<tex>A_2 = T \cdot A_1 = \begin{pmatrix}
a_{k + 1}\\
\end{pmatrix}</tex>
Продолжая так , для любого целого неотрицательного <tex>i</tex>, мы получим столбик <tex>A_i</tex>, состоящий из <tex>k</tex> подряд идущих членов последовательности, начиная с <tex>a_i</tex>. Пользуясь ассоциативностью произведения матриц, можно записать, что <tex>A_i = T^i \cdot A_0</tex>. Из этого соотношения вытекает алгоритм вычисления произвольного <tex>a_n</tex>:
# Инициализировать матрицы <tex>A_0</tex> и <tex>T</tex>
Используя быстрое возведение в степень во втором пункте, мы будем тратить <tex>O(k^3 \cdot \log n)</tex> времени. Умножение же в третьем пункте выполняется за <tex>O(k^2)</tex>.
Итого мы получили алгоритм , работающий за <tex>O(k^3 \cdot \log n)</tex>.
== Связь с многочленами (за <tex>O(k^2 \cdot \log n)</tex>) ==
Вспомним, что по [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности|теореме о связи рекурренты ЛРП и многочленов]] наша реккурента ЛРП эквивалента некому многочлену отношению многочленов <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, при этом <tex>Q(t) = q_0 + q_1 \cdot t + \cdots q_k \cdot t^k = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \cdots - c_k \cdot t^k</tex>. Домножим числитель и знаменатель на <tex>Q(-t)</tex>. Новый знаменатель <tex>R(t) = Q(t) \cdot Q(-t)</tex>. При этом <tex>r_n = \sum\limits_{i = 0}^{n} q_i \cdot q_{n - i} \cdot (-1)^{n - i}</tex>. Нетрудно заметить, что при нечётных <tex>n</tex> коэффициенты <tex>r_n</tex> обращаются в <tex>0</tex>, a <tex>r_0 = 1</tex>.
Отсюда мы получаем, что многочлен <tex>R(t)</tex> имеет вид: <tex>R(t) = 1 + r_2 \cdot t^2 + r_4 \cdot t^4 + \cdots + r_{2k} \cdot t^{2k}</tex>. Однако вспомним о связи с рекуррентойЛРП, а именно тогда мы получили, что <tex>a_n = -r_2 \cdot a_{n - 2} - r_4 \cdot a_{n - 4} - \cdots - r_{2k} \cdot a_{n - 2k}</tex>
Иными словами мы получили новое рекуррентное соотношение для данной последовательности, где каждый элемент зависит от элементов с номерами, имеющими такую же чётность, что номер исходного. То есть по сути наша последовательность разделилась на две независимых: с чётными и нечётными номерами. Можно сказать, что мы теперь ищем не <tex>a_n</tex> из исходной последовательности, а <tex>a'_{n~div~2}</tex> из подпоследовательности элементов c номерами, имеющими ту же чётность, что и <tex>n</tex>. Заметим, что этот процесс можно проделывать далее пока <tex>n \geqslant k</tex>, ведь в итоге искомый элемент окажется среди <tex>k</tex> первых. Всё, что нам нужно,{{---}} поддерживать первые <tex>k</tex> элементов для каждой новой последовательности.
Исходя из всего вышесказанного получаем алгоритм:
get_nth(n, a[], <tex>Q</tex>) { '''while''' (n <tex>\geqslant</tex> k) { '''for''' (i = k<tex>\cdots</tex>'''to''' 2k - 1) {
a[i] = <tex>\sum\limits_{j = 1}^{k}</tex> -q[j] <tex>\cdot</tex> a[i - j]
<tex>R = Q(t) \cdot Q(-t)</tex>
'''filter ''' a[i] '''with ''' (i '''mod ''' 2 == n '''mod ''' 2)
<tex>Q = R(\sqrt{t})</tex>
n = n '''div ''' 2 } '''return ''' a[n] }
Вычисление <tex>a[k], a[k + 1], \cdots , a[2k - 1]</tex> занимает <tex>O(k^2)</tex> времени, ибо их всего <tex>k</tex>, а каждый считается за <tex>O(k)</tex>. Умножение многочленов длины порядка <tex>k</tex> также занимает <tex>O(k^2)</tex> времени. Итераций внешнего цикла будет <tex>O(\log n)</tex> в силу того, что мы делим <tex>n</tex> на <tex>2</tex> каждый раз.
== Источники информации ==
* [https://studfiles.net/preview/5826382/page:21/ Вычисление рекурренты ЛРП с помощью матриц]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Производящие функции]]
