Быстрое вычисление членов линейной рекуррентной последовательности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Связь с многочленами (за O(k^2 \cdot \log n)))
Строка 1: Строка 1:
 +
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 +
|+
 +
|-align="center"
 +
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|
 +
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 +
 +
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 +
 +
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 +
 +
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 +
 +
''Антивоенный комитет России''
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 +
|-style="font-size: 16px;"
 +
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 +
|}
 +
 
Пусть нам дана [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности#def_linear.|линейная рекуррентная последовательность]](далее ЛРП) порядка <tex>k</tex>. А именно: <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + c_2 \cdot a_{n - 2} + \cdots + c_k \cdot a_{n - k}</tex> при <tex>n \geqslant k</tex>, а так же заданы <tex>k</tex> первых членов последовательности. Требуется уметь вычислять произвольное <tex>a_n</tex>.
 
Пусть нам дана [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности#def_linear.|линейная рекуррентная последовательность]](далее ЛРП) порядка <tex>k</tex>. А именно: <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + c_2 \cdot a_{n - 2} + \cdots + c_k \cdot a_{n - k}</tex> при <tex>n \geqslant k</tex>, а так же заданы <tex>k</tex> первых членов последовательности. Требуется уметь вычислять произвольное <tex>a_n</tex>.
  

Версия 09:11, 1 сентября 2022

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.

Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.

Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.

Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.

Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Пусть нам дана линейная рекуррентная последовательность(далее ЛРП) порядка [math]k[/math]. А именно: [math]a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + c_2 \cdot a_{n - 2} + \cdots + c_k \cdot a_{n - k}[/math] при [math]n \geqslant k[/math], а так же заданы [math]k[/math] первых членов последовательности. Требуется уметь вычислять произвольное [math]a_n[/math].

Самый простой способ сделать это — последовательно считать каждый [math]a_i[/math], пока [math]i[/math] не станет равен [math]n[/math]. Однако этот способ не самый эффективный, он, очевидно, требует [math]O(n \cdot k)[/math] времени, но можно сделать это быстрее. Рассмотрим два способа это сделать.

Умножение матриц (за [math]O(k^3 \cdot \log n)[/math])

Заметим, что ЛРП хорошо выражаются через матрицы. Запишем наши первые [math]k[/math] членов последовательности в столбик. [math]A_0 = \begin{pmatrix} a_{k - 1}\\ a_{k - 2}\\ \vdots \\ a_0 \end{pmatrix}[/math] Так же выпишем следующую матрицу перехода: [math]T = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & \cdots & c_{k - 1} & c_k\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ \end{pmatrix}[/math]

Заметим, что умножив [math]T[/math] на [math]A_0[/math], мы получим столбик [math]A_1[/math] следующего вида: [math]A_1 = T \cdot A_0 = \begin{pmatrix} a_{k}\\ a_{k - 1}\\ \vdots \\ a_1 \end{pmatrix}[/math] Аналогично, домножив [math]T[/math] на [math]A_1[/math], получим [math]A_2 = T \cdot A_1 = \begin{pmatrix} a_{k + 1}\\ a_{k}\\ \vdots \\ a_2 \end{pmatrix}[/math]

Продолжая так, для любого целого неотрицательного [math]i[/math], мы получим столбик [math]A_i[/math], состоящий из [math]k[/math] подряд идущих членов последовательности, начиная с [math]a_i[/math]. Пользуясь ассоциативностью произведения матриц, можно записать, что [math]A_i = T^i \cdot A_0[/math]. Из этого соотношения вытекает алгоритм вычисления произвольного [math]a_n[/math]:

  1. Инициализировать матрицы [math]A_0[/math] и [math]T[/math]
  2. Возвести матрицу [math]T[/math] в степень [math]n[/math]
  3. Посчитать [math]A_n[/math] как [math]T^n \cdot A_0[/math] и взять из него [math]a_n[/math]

Используя быстрое возведение в степень во втором пункте, мы будем тратить [math]O(k^3 \cdot \log n)[/math] времени. Умножение же в третьем пункте выполняется за [math]O(k^2)[/math].

Итого мы получили алгоритм, работающий за [math]O(k^3 \cdot \log n)[/math].

Связь с многочленами (за [math]O(k^2 \cdot \log n)[/math])

Вспомним, что по теореме о связи ЛРП и многочленов наша ЛРП эквивалента некому отношению многочленов [math]A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], при этом [math]Q(t) = q_0 + q_1 \cdot t + \cdots q_k \cdot t^k = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \cdots - c_k \cdot t^k[/math]. Домножим числитель и знаменатель на [math]Q(-t)[/math]. Новый знаменатель [math]R(t) = Q(t) \cdot Q(-t)[/math]. При этом [math]r_n = \sum\limits_{i = 0}^{n} q_i \cdot q_{n - i} \cdot (-1)^{n - i}[/math]. Нетрудно заметить, что при нечётных [math]n[/math] коэффициенты [math]r_n[/math] обращаются в [math]0[/math], a [math]r_0 = 1[/math].

Отсюда мы получаем, что многочлен [math]R(t)[/math] имеет вид: [math]R(t) = 1 + r_2 \cdot t^2 + r_4 \cdot t^4 + \cdots + r_{2k} \cdot t^{2k}[/math]. Однако вспомним о связи с ЛРП, тогда мы получили, что [math]a_n = -r_2 \cdot a_{n - 2} - r_4 \cdot a_{n - 4} - \cdots - r_{2k} \cdot a_{n - 2k}[/math]

Иными словами мы получили новое рекуррентное соотношение для данной последовательности, где каждый элемент зависит от элементов с номерами, имеющими такую же чётность, что номер исходного. То есть по сути наша последовательность разделилась на две независимых: с чётными и нечётными номерами. Можно сказать, что мы теперь ищем не [math]a_n[/math] из исходной последовательности, а [math]a'_{n~div~2}[/math] из подпоследовательности элементов c номерами, имеющими ту же чётность, что и [math]n[/math]. Заметим, что этот процесс можно проделывать далее пока [math]n \geqslant k[/math], ведь в итоге искомый элемент окажется среди [math]k[/math] первых. Всё, что нам нужно,— поддерживать первые [math]k[/math] элементов для каждой новой последовательности.

Исходя из всего вышесказанного получаем алгоритм:

   get_nth(n, a[], [math]Q[/math]) 
       while n [math]\geqslant[/math] k
            for i = k to 2k - 1
                a[i] = [math]\sum\limits_{j = 1}^{k}[/math] -q[j] [math]\cdot[/math] a[i - j]
            [math]R = Q(t) \cdot Q(-t)[/math]
            filter a[i] with (i mod 2 == n mod 2)
            [math]Q = R(\sqrt{t})[/math]
            n = n div 2
       return a[n]

Вычисление [math]a[k], a[k + 1], \cdots , a[2k - 1][/math] занимает [math]O(k^2)[/math] времени, ибо их всего [math]k[/math], а каждый считается за [math]O(k)[/math]. Умножение многочленов длины порядка [math]k[/math] также занимает [math]O(k^2)[/math] времени. Итераций внешнего цикла будет [math]O(\log n)[/math] в силу того, что мы делим [math]n[/math] на [math]2[/math] каждый раз.

Итого мы получили алгоритм, работающий за [math]O(k^2 \cdot \log n)[/math]

См. также

Источники информации