1
правка
Изменения
→Алгоритм построения БПФ
{{Определение
|definition=
'''Быстрое преобразование Фурье''' (англ. ''Fast Fourier Transform (, FFT)'') {{---}} это метод, позволяющий вычислять [[Дискретное преобразование Фурье | дискретное преобразование Фурье ]] за время <tex>O(nlognn \log n)</tex>.
}}
{{Задача
|definition=
Необходимо научиться вычислять прямое и обратное дискретное преобразование Фурье многочлена <tex>A(x)</tex> степени <tex>n</tex> за время <tex>O(nlognn \log n)</tex>.
}}
Метод основывается на том, что степени одних комплексных корней единицы в степени <tex>n</tex> дают другие.
== Алгоритм построения БПФ ==
Пусть имеется многочлен <tex>A(x)</tex> степени порядка <tex>n</tex>, где <tex>n > 1, n = 2^t</tex>. Если <tex>n</tex> не является степенью двойки, добавим недостающие члены и положим коэффициенты равными нулю.
<center><tex> A(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_{n-1} x^{n-1} </tex></center>
Разделим <tex>A(x)</tex> на два многочлена, где один будет с четными, а другой с нечетными коэффициентами:
Многочлен <tex>A(x)</tex> получается из <tex>A_0(x)</tex> и <tex>A_1(x)</tex> следующим образом:
<center><tex>A(x) = A_0(x^2) + xA_1(x^2) \ \ \ \ \ (1)</tex></center>
Мы разбили исходный многочлен на два многочлена, имеющих вдвое меньшую степень. Нам необходимо по вычисленным <tex>\mathrm{DFT}(A_0)</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1)</tex> за линейное время вычислить <tex>\mathrm{DFT}(A)</tex>. Так как здесь используется идея "''разделяй и властвуй"'', то асимптотическая оценка будет <tex>O(nlognn \log n)</tex>.
Пусть <tex>\mathrm{DFT}(A_0) = \{y_k^0\}^{\frac{n}{2}-1}_{k=0}</tex> и <tex>\mathrm{DFT}(A_1) = \{y_k^1\}^{\frac{n}{2} - 1}_{k=0}</tex>. Найдем вектор значений <tex>\mathrm{DFT}(A) = \{y_k\}^{n-1}_{k=0}</tex>.
* Из <tex>(1)</tex> получаем значения для первой половины коэффициентов:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
* Для второй половины получаем:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})= A_0(\omega_n^{2k+n})+ \omega_n^{k+\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k+n})= </tex> <tex>A_0(\omega_n^{2k} \omega_n^{n})+ \omega_n^k \omega_n^{\frac{n}{2}} A_1(\omega_n^{2k} \omega_n^n) </tex></center>
Заметим, что <tex> \omega_n^n = 1, \omega_n^{\frac{n}{2}} = -1</tex>, тогда:
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= A_0(\omega_n^{2k})- \omega_n^k A_1(\omega_n^{2k})= y_k^0- \omega_n^k y_k^1</tex>.</center>
Таким образом, мы получили:
<center><tex>y_k = y_k^0 + \omega^k_n y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex></center>
<center><tex>y_{k+\frac{n}{2}}= y_k^0- \omega_n^k y_k^1, \ \ k = 0 \ldots \dfrac{n}{2} - 1 </tex>.</center>
== Алгоритм построения обратного БПФ ==
Рассмотрим ДПФ в матричном виде:
<center>
<tex>
\begin{pmatrix}
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>
Отсюда можно найти вектор <tex>(a_0, a_1, \ldots ,a_{n-1})</tex>, умножив вектор <tex>(y_0, y_1, \ldots ,y_{n-1})</tex> на матрицу обратную матрице Вандермонда (матрица слева).
<center><tex>
\begin{pmatrix}
a_0 \\
y_{n-1}
\end{pmatrix}
</tex></center>
Непосредственной проверкой можно убедиться, что обратная матрица имеет вид:
<center><tex>
\dfrac{1}{n}
\begin{pmatrix}
\omega_n^0 & \omega_n^{-(n-1)} & \omega_n^{-2(n-1)} &\ldots & \omega_n^{-(n-1)(n-1)}
\end{pmatrix}
</tex></center>
Получаем формулу для <tex>a_k</tex>:
<center><tex>a_k = \dfrac{1}{n}\sum \limits_{j=0}^{n-1} {y_j \omega_n^{-kj}} </tex></center> Аналогично прямому ДПФ, по принципу ''разделяй и властвуй'' посчитаем <tex>\mathrm{InvDFT}</tex>. == См. также ==*[[Дискретное преобразование Фурье]] == Источники информации ==*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5 Википедия {{---}} Быстрое преобразование Фурье]*[http://e-maxx.ru/algo/fft_multiply MAXimal::algo::Быстрое преобразование Фурье за O (N log N)] [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]][[Категория: Алгоритмы алгебры и теории чисел]][[Категория: Основные элементы теории чисел]][[Категория: Основные алгоритмы теории чисел]]
