Изменения

|definition = Дана {{Acronym | перестановка | на самом деле может быть и мультиперестановкой }} <tex>\pi</tex> множества <tex>~\{1, 2,~\dots,~n\}</tex> Найти . Требуется найти [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности | НВП]] <tex>\pi</tex> за <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, где <tex>k</tex> - — длина НВП.

[[Файл:Task.jpg]]== Алгоритм <tex>за O(n\operatorname{log}\operatorname{log}n)</tex> ==

Пусть <tex>\pi(n){\pi_1,\pi_2,~\dots,~\pi_n\}</tex> - — входная перестановка.

Для каждой длины Будем последовательно обрабатывать элементы в порядке <tex>l = 1\pi_1, 2\pi_2, ~\dots</tex> предполагаемой НВП находим наименьший {{Acronym | элемент| назовем его лучшим элементом для заданной длины }}, что может быть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex>, запишем их в массив <tex>B[l]~\pi_n\colon</tex>.

Если обрабатываемый элемент Для каждой длины <tex>l = 1, 2,~\pi(i)dots,~n</tex> больше последнего элемента какой-нибудь возрастающей последовательностипредполагаемой НВП находим наименьший элемент, он который может ее увеличитьбыть последним в возрастающей подпоследовательности длины <tex>l</tex> и запишем его в массив <tex>B_l</tex>. Будем называть его наилучшим элементом для длины <tex>l</tex>.

Будем последовательно обрабатывать элементы * Если <tex>\pi(1)pi_i</tex> больше каждого элемента <tex>B</tex>, вычисленного для подпоследовательности <tex>\pi_1, \pi(2)pi_2,~\dots~,\pi_{i-1}</tex>, тогда с ним можно сделать возрастающую подпоследовательность максимальной длины из уже рассмотренных, в которой он будет последним элементом. Значит,~записываем его в конец <tex>B</tex>.* Иначе <tex>\pi_i</tex> будет наилучшим элементом для уже существующей длины и сможет улучшить только один элемент в <tex>B</tex>, тогда мы находим наименьшее <tex>k\colon B_k > \pi_i</tex> и заменяем <tex>B_k</tex> элементом <tex>\pi(n)pi_i</tex>:.

* Если Следует отметить, что полученный массив также образует возрастающую последовательность, на котором мы должны выполнять операции <tex>\pi(i)</tex> больше mathrm{{Acronym | <tex>\pi(1)insert}, \pi(2)mathrm{next},~\dots~,\pi(i-1)mathrm{delete}</tex> , соответственно целесообразно использовать [[ Приоритетные очереди | всех уже полученных значений B }}приоритетную очередь]], значит с ним можно сделать максимальную, из уже рассмотренных, возрастающую подпоследовательностьреализованную через [[Дерево ван Эмде Боаса]]. Записываем его в конец <tex>B</tex>* Иначе Так как данная структура данных производит описанные операции за <tex>O(\pi(ioperatorname{log} k)</tex> становится лучшим элементом для такой длины , где k — количество бит чисел, которые позволяет хранить дерево, то полученный алгоритм работает за <tex>l</tex>, что: {O(n\operatorname{Acronym | <tex>B[l]</tex> | предыдущее значение}log}<tex> = \min \operatorname{ B[j] > \pi(ilog} n),~j < i \}</tex> , потому что все элементы последовательности не превосходят n.

''' Типы операций''' * Добавление элемента, который больше всех предыдущих: [[Файл:Operation1.jpg]] * Замещение элемента более подходящим, т.е. добавление немаксимального элемента:

Последовательность[[Файл:Operation2_1.jpg]] <tex>\longrightarrow</tex> [[Файл:Operation2_2.jpg]] ''' Пример последовательности '''

! <tex>\pi_1</tex> || <tex>\pi_2</tex> || <tex>\pi_3</tex> || <tex>\pi_4</tex> || <tex>\pi_5</tex> || <tex>\pi_6</tex> || <tex>\pi_7</tex> || <tex>\pi_8</tex> || <tex>\pi_9</tex> || <tex>\pi_{10}</tex> || <tex>\pi_{11}</tex> || <tex>\pi_{12}</tex>

| <tex>9 </tex> || 2 <tex>3</tex> || <tex>10</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> || <tex>1 </tex> || 3 <tex>2</tex> || 7 <tex>12</tex> || 5 <tex>6</tex> || 6 <tex>5</tex> || 8 <tex>7</tex> || 4 <tex>11</tex>

 ''' Состояние очереди при каждом добавлении:'''

| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>9 </tex> || || || || || style="background:#9886ffCFCFFF"|<tex>9</tex>|-align="center" | style="background:#FFCFCF"| <tex>3</tex> || || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>10</tex> || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>10</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>4</tex> || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>

| <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 2 || || <tex>8</tex> || || || style="background:#9886ffCFCFFF"|2<tex>8</tex>

| style="background:#FFCC00FFCFCF"| <tex>1 </tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> || || || style="background:#9886ffCFCFFF"|<tex>1</tex>

| <tex>1 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 3 <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || || || style="background:#9886ffCFCFFF"|3<tex>2</tex>

| <tex>1 </tex> || 3 <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 7 || <tex>12</tex> || || style="background:#9886ffCFCFFF"|7<tex>12</tex>

| <tex>1 </tex> || 3 <tex>2</tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 5 <tex>6</tex> || <tex>12</tex> || || style="background:#9886ffCFCFFF"|5<tex>6</tex>

| <tex>1 </tex> || 3 || 5 <tex>2</tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 6 <tex>5</tex> || <tex>12</tex> || || style="background:#9886ffCFCFFF"|6<tex>5</tex>

| <tex>1 </tex> || 3 <tex>2</tex> || <tex>5 || 6 </tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 8 <tex>7</tex> || || style="background:#9886ffCFCFFF"|8<tex>7</tex>

| <tex>1 </tex> || 3 <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || <tex>7</tex> || style="background:#FFCC00FFCFCF"| 4 || 6 || 8 <tex>11</tex> || style="background:#9886ffCFCFFF"|4<tex>11</tex>

<code> '''functionint''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B <font color= priorityQueue()darkgreen>// рабочая приоритетная очередь</font> '''int''' k = 0 n <font color= <texdarkgreen>\pi// длина НВП</texfont>.size '''for''' i = 1..'''to''' n: x = <tex>\pi</tex>[i] B.insert(x) <font color=darkgreen>// в любом случае добавляем в очередьочередной элемент</font> <font color=darkgreen>// устаревшие будем удалять</font> B.insert(x) '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) '''exists''' '''then''' <font color=darkgreen>// добавленный элемент — не максимальный</font> <font color=darkgreen>// удаляем следующее за x значение </font> B.delete(B.next(x)) // удаляем предыдущее значение - заменяем {{Acronym | следующий | минимальный из бОльших}} '''else''' <font color=darkgreen>// добавленный элемент — максимальный</font> <font color=darkgreen>// предыдущие значения не трогаем, очередь увеличилась</font> k = k + 1 // добавляем максимальный - уже добавлен, ничего не удаляем '''return''' k</code> === Расширение алгоритма на нахождение до нахождения НВП ===

Тогда, выбрав какой-нибудь лучший элемент для максимальной длиныпройдя по предшественникам, начиная с последнего элемента очереди <tex>B</tex>, мы можем легко восстановить все НВП.==== Общий вид алгоритма ===={| class="wikitable" align="leftborder" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"|-align="center"! <tex>B_1</tex> || <tex>B_2</tex> || <tex>B_3</tex> || <tex>B_4</tex> || <tex>B_5</tex> || <tex>~\pi_i~</tex>|-align="center" | <tex>9</tex> || || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>9</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || <tex>10</tex> || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>10</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>8</tex>|-align="center" | style="background:#FFDF90"| <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>8</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex>|-align="center" | style="background:#FFCFCF"| <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>8</tex> || <tex>12</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>12</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>2</tex> || <tex>6</tex> || <tex>12</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>2</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>5</tex> || <tex>12</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>5</tex> || style="background:#FFDF90"| <tex>7</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>7</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>7</tex> || style="background:#FFCFCF"| <tex>11</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>11</tex>|} {| class="wikitable" style="color: black; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"|-align="center"! colspan="12" | predecessor|-align="center"! <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || <tex>5</tex> || <tex>6</tex> || <tex>7</tex> || <tex>8</tex> || <tex>9</tex> || <tex>10</tex> || <tex>11</tex> || <tex>12</tex> |-align="center"| || <tex>1</tex> || || <tex>3</tex> || <tex>2</tex> || <tex>2</tex> || <tex>5</tex> || <tex>4</tex> || || <tex>3</tex> || <tex>7</tex> || <tex>8</tex>|} 

<code> '''functionint[]''' LIS(<tex>\pi</tex>[n]) '''PriorityQueue''' B = priorityQueue() '''int''' k = 0 n <font color= <texblue>\pi'''int''' predecessor[n]</texfont>.size <font color = 'red'darkgreen>// резервируем <tex>predecessors = [n]</colortex> позиций</font> '''for''' i = 1 '''to ''' n x = <tex>\pi</tex>[i] B.insert(x) <font color=blue>predecessor[x] = B.prev(x)</font> '''if''' <tex>\exists</tex> B.next(x) '''exists''' '''then''' B.delete(B.next(x)) '''else''' k = k + 1 <font color=darkgreen>// по цепочке от последнего элемента // восстанавливаем НВП</font> <font color=blue>'''int''' result = [k] '''int''' cur = B.max() result + '''for''' i = [cur] k - 1 '''whiledownto''' 0 result[i] = cur cur = predecessor[cur] '''existsreturn'''result</font> result == Оптимизация до O(n log log k) =====Основная идея===Чтобы [[Дерево ван Эмде Боаса]] выполняло операции за <tex>O(\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex>, необходимо алфавит обрабатываемых значений уменьшить до <tex>O(k)</tex>. Предположим, мы знаем такое приближение числа <tex>k</tex> числом <tex>m: m \geqslant k</tex>. Мы обсудим, как найти такое <tex>m</tex> позже. Во время обработки ключей элементов описанный выше алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex> работает только с очередью <tex>B</tex> и не зависит от предыдущих элементов последовательности, которые не находятся в очереди. Поэтому, если мы разобьем всю последовательность на блоки из <tex>m</tex> элементов (последний блок может быть меньше), и нам удастся обрабатывать каждый как перестановку из <tex>m</tex> элементов, сохраняя очередь <tex>B</tex> для вычисленных ранее блоков, то мы получим асимптотическое время <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} (k + m))</tex>, а так как <tex>m \geqslant k</tex>, то <tex>O(n \operatorname{log} \operatorname{log} m)</tex>. (Мы будем обрабатывать блоки последовательно, т.е. с предыдущего блока у нас может остаться <tex>k</tex> значений в очереди, которые дополняются <tex>m</tex> значениями очередного блока — получаем верхнее ограничение в <tex>k +m</tex> обрабатываемых возможных значений.) === Деление на блоки= ==Последовательность <tex>S</tex> делится на блоки <tex>C_j,~j=1,~\dots,~\lceil\frac{n}{m}\rceil</tex>:<tex>C_j=(\pi_{(j-1)m+1},\pi_{(j-1)m+2},~\dots~,\pi_{(j-1)m+m)})</tex> Обозначим за <tex>C_j^s</tex> отсортированный блок <tex>C_j</tex>. Отсортированные и неотсортированные блоки будем хранить в памяти. [[Цифровая сортировка]] каждого блока отдельно будет давать нам время работы <tex>O \left(\dfrac{n}{m}n \right) = O \left(\dfrac{n^2}{m} \right)</tex>. Дополним каждый элемент <tex>\pi</tex> номером блока, в котором он находится и смещением в этом блоке. Теперь, рассматривая номер блока как старший разряд, элемент как младший разряд (по смещению внутри блока не сортируем), можно сортировать цифровой сортировкой за линейное время <tex>O(n)</tex>, потому что значения элементов и номера блоков не превосходят <tex>n</tex>. Перестановка смещений, образованная в сортированном блоке есть не что иное, как обратная перестановка перестановки <tex>\xi</tex>, элементы которой соотносятся между собой как элементы исходного блока. Т.е. если элемент <tex>\pi</tex> находится в исходной перестановке в блоке <tex>C_j</tex> на позиции <tex>i</tex>, то в блоке <tex>C_j^s</tex> он на позиции <tex>\xi_i</tex>. ====Пример====Предположим, что <tex>m=5</tex>. Исходно получаем: {| class="wikitable" style="text-align:center"| Блок ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>|-|<tex>\pi</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>11</tex>|-|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>|} После сортировки:{| class="wikitable" style="text-align:center"|Блок ||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>3</tex>|-|<tex>\pi</tex> ||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>8</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>9</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>10</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>6</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>12</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>7</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>11</tex>|-|Смещение ||style="background:#FFC9C9"|<tex>2</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>4</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>5</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>1</tex>||style="background:#FFC9C9"|<tex>3</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>1</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>2</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>5</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>4</tex>||style="background:#B9FFB9"|<tex>3</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#CFCFFF"|<tex>2</tex>|} Обратные перестановки (<tex>\xi</tex>):{| class="wikitable" style="center" style="background:#FFCC80"! colspan="5"|<tex>1</tex> || colspan="5"|<tex>2</tex> || colspan="3"|<tex>3</tex>|-align="center" | style="background:#FFD0D0"|<tex>4</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>1</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>5</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>2</tex>||style="background:#FFD0D0"|<tex>3</tex>| style="background:#D0FFD0"|<tex>1</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>2</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>5</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>4</tex>||style="background:#D0FFD0"|<tex>3</tex> | style="background:#D0D0FF"|<tex>1</tex>||style="background:#D0D0FF"|<tex>2</tex>|} === Обработка блока ===Обрабатывая блок, каждому элементу <tex>x</tex> внутри этого блока взаимно однозначно сопоставим ключ <tex>y = \mathtt{key}(x);~x=\mathtt{elt}(y)</tex> так, чтобы их значения находились в промежутке <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Очередь <tex>B</tex> будет работать непосредственно с ключами элементов. Работая с блоком <tex>C_j</tex>, будем сливать элементы, ключи которых находятся в очереди <tex>B</tex>, с <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Поскольку мы предположили, что <tex>m\geqslant k</tex>, то количество ключей в <tex>B</tex> не больше <tex>m</tex>, тогда длина <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m</tex>, что позволяет однозначно определить ключи на множестве <tex>\{1,2,\dots,2m\}</tex>. Как было замечено ранее, элементы, чьи ключи находятся в <tex>B</tex>, располагаются в возрастающем порядке, поэтому возможно производить тривиальную операцию [predecessor[curСортировка слиянием#Принцип работы#Слияние двух массивов | слияния]]за <tex>O(m)</tex>. В итоге, получим отсортированный список <tex>\mathtt{merged}</tex>. Сопоставим ключ каждому элементу как его позицию в этом списке, тогда справедливы утверждения, что <tex>\mathtt{elt}(x)=\mathtt{merged}[x]</tex> и <tex>(\pi_{i}<\pi_{k} \Longleftrightarrow \mathtt{key}(\pi_{i})<\mathtt{key}(\pi_{k}))</tex>, где <tex>\pi_{i},\pi_{k}\in \mathtt{merged}</tex>, поэтому любая возрастающая последовательность ключей элементов будет соответствовать возрастающей последовательности элементов. Таким образом, приоритетная очередь сможет корректно работать с ключами элементов. Находим последовательность ключей, соответствующую элементам блока <tex>C_j^s</tex>. Действуя на эту последовательность перестановкой <tex>\xi_j</tex>, получаем последовательность ключей в порядке исходного блока. Оставшиеся ключи, которые входят в <tex>\mathtt{merged}</tex>, но не являются ключами элементов в обрабатываемом блоке, будут ключами элементов из очереди <tex>B</tex>. Обновляем очередь <tex>B</tex> этими ключами. Затем запускаем алгоритм <tex>\mathrm{LIS}</tex>, для ключей элементов <tex>C_j</tex> в порядке исходной последовательности. В итоге, обработка блока делится на следующие этапы:* Достаем из очереди <tex>B</tex> ключи <tex>x</tex>, конвертируем их в элементы <tex>\mathtt{elt}(x)</tex> и кладём в список <tex>\mathtt{elems}</tex>.* Сливаем элементы в <tex>\mathtt{elems}</tex> со следующим отсортированным блоком <tex>C_j^s</tex> в список <tex>\mathtt{merged}</tex>, генерируя два вспомогательных массива <tex>\mathtt{ind_0}</tex> и <tex>\mathtt{ind_1}</tex>, хранящих индексы элементов списков <tex>C_j^s</tex> и <tex>\mathtt{elems}</tex> соответственно в списке <tex>\mathtt{merged}</tex>.* Действуя на последовательность ключей в списке <tex>\mathtt{ind_0}</tex> перестановкой <tex>\xi_j</tex> получим ключи в порядке исходной последовательности.* Вставляем в <tex>B</tex> новые ключи элементов списка <tex>\mathtt{elems}</tex> (элементы <tex>\mathtt{ind_1}</tex>).* Обрабатываем ключи элементов блока в порядке исходной последовательности с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>. Для восстановления НВП также используем массив "предшественников", который будет работать с соответствующими ключам элементами <tex>\mathtt{elt}(x)</tex>. ====Пример==== ''' Первый блок ''' Так как очередь <tex>B</tex> в начале пуста, то <tex>\mathtt{merged}=C_1^s</tex>. Присвоим ключи элементам в списке <tex>\mathtt{merged}</tex> как их индексы в этом списке. Восстанавливаем последовательность ключей элементов в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой смещений <tex>\xi_1</tex> на последовательность ключей в отсортированном блоке. {|| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="6"|Сортированный|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="6"|Первый блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>9</tex>||<tex>3</tex>||<tex>10</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>1</tex>||<tex>5</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>|-| <tex>\xi_1</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>1</tex>||<tex>5</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>|}|} Обработка блока с помощью алгоритма <tex>\mathrm{LIS}</tex>. {| class="wikitable" style="center"; style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>|-align="center" | style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>9</tex>|-align="center" | style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>3</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>10</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>4</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>8</tex>|} В результате получаем <tex>B: \{1, 2, 3\}</tex> <tex>\mathtt{merged}: \{3,4,8,9,10\}</tex>  '''Второй блок''' Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 3\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{3, 4, 8, 9, 10\}</tex>: <tex>\{3, 4, 8\}</tex>. Сливаем <tex>C_2^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex> в <tex>\mathtt{merged}</tex> и присваиваем элементам ключи как индексы элементов в полученном списке:{|| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="3"|<tex>B</tex>|-align="center"| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>8</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="5"|<tex>C_2^s</tex>|-align="center"| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>|}|} cur {|| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"! colspan="9"|<tex>\mathtt{merged}</tex>|-align="center"|<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>7</tex>||<tex>8</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="3"|<tex>\mathtt{ind_1}</tex>|-align="center"| <tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>7</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="5"|<tex>\mathtt{ind_0}</tex>|-align="center"| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>|}|} Получаем ключи элементов в <tex>C_2^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_2</tex>: {|| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="6"|Сортированный|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>12</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||<tex>8</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="6"|Второй блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>12</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>8</tex>||<tex>6</tex>||<tex>5</tex>|-| <tex>\xi_2</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>4</tex>||<tex>3</tex>|}|} Обновляем ключи в очереди:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>key</tex>|-align="center" | style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex>|-align="center" | <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>7</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>7</tex>|} запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> для блока:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>|-align="center" | style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> || <tex>4</tex> || <tex>7</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>1</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> || <tex>7</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>2</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>7</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>8</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>12</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>6</tex> || <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>6</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> || <tex>8</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>5</tex>|} В результате получаем: <tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex> <tex>\mathtt{merged}: \{1,2,3,4,5,6,8,12\}</tex>  '''Третий блок''' Восстанавливаем элементы <tex>B: \{1, 2, 5, 8\}</tex> из <tex>\mathtt{merged}: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12\}</tex>: <tex>\{1, 2, 5, 12\}</tex>. Сливаем <tex>C_3^s</tex> и восстановленные элементы из <tex>B</tex> и присваиваем ключи элементам:{|| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="4"|<tex>B</tex>|-align="center"| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>12</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="2"|<tex>C_3^s</tex>|-align="center"| <tex>7</tex>||<tex>11</tex>|}|} {|| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"! colspan="7"|<tex>\mathtt{merged}</tex>|-align="center"|<tex>\pi</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>5</tex>||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|<tex>key</tex>||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>||<tex>6</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="4"|<tex>\mathtt{ind_1}</tex>|-align="center"| <tex>1</tex>||<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>6</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| colspan="2"|<tex>\mathtt{ind_0}</tex>|-align="center"| <tex>4</tex>||<tex>5</tex>|}|} Получаем ключи элементов в <tex>C_3^s</tex> и находим перестановку ключей в порядке исходной последовательности, действуя перестановкой <tex>\xi_3</tex>: {|| ||{|| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="3"| Третий блок|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>|}| ||{| class="wikitable" style="text-align:center"! colspan="3"|Cортированный|-| <tex>\pi</tex> ||<tex>7</tex>||<tex>11</tex>|-| <tex>key</tex> ||<tex>4</tex>||<tex>5</tex>|-| <tex>\xi_3</tex> ||<tex>1</tex>||<tex>2</tex>|}|} Обновление старых ключей:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>key</tex>|-align="center" | style="background:#FFC9C9"| <tex>1</tex> || || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>1</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>2</tex> || || || style="background: #CFCFFF"| <tex>2</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>3</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>3</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>6</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>6</tex>|} запускаем <tex>\mathrm{LIS}</tex> для блока:{| class="wikitable" style="center" style="background: #ffffcc"! <tex>B_1</tex>||<tex>B_2</tex>||<tex>B_3</tex>||<tex>B_4</tex>||<tex>B_5</tex>||<tex>key</tex>||<tex>\pi</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>4</tex> || || style="background: #CFCFFF"| <tex>4</tex> || style="background: #B9FFB9"| <tex>7</tex>|-align="center" | <tex>1</tex> || <tex>2</tex> || <tex>3</tex> || <tex>4</tex> || style="background:#FFC9C9"| <tex>5</tex> || style="background: #CFCFFF"| <tex>5</tex> || style= predecessor"background: #B9FFB9"| <tex>11</tex>|}Результат завершения алгоритма: <tex>B: \{1, 2, 3, 4, 5\}</tex> <tex>\mathtt{merged}: \{1,2,5,7,11,12\}</tex> Получаем, что длина НВП — <tex>5</tex>, и НВП оканчивается на <tex>\mathtt{merged}[cur5]=11</tex>.  '''returnВосстановление НВП''' result{| class="wikitable" style="center"! colspan="12"| <tex>\mathtt{predecessor}</tex>|-align="center"| style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||<tex>3</tex>||<tex>4</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>6</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex>||<tex>9</tex>||<tex>10</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||<tex>12</tex>|-align="center"|style="background:#FFFFC8"| ||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#DCDCFF"|<tex>2</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||<tex>4</tex>|| ||<tex>3</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||<tex>8</tex> |}Начинаем восстановление с <tex>\mathtt{merged}[5] = 11</tex>:{| class="wikitable" style="center"|-align="center"| обратный порядок||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>|-align="center"| НВП||style="background:#DCFFFF"|<tex>1</tex>||style="background:#E6E6FF"|<tex>2</tex>||style="background:#DCFFDC"|<tex>5</tex>||style="background:#FFDCDC"|<tex>7</tex>||style="background:#FFFFC8"|<tex>11</tex>|} === Нахождение размера блоков === Рассмотрим последовательность <tex>\{m_0,~m_1,~m_2,~\dots\}</tex>, где <tex> m_{i+1} = m_i ^{\operatorname{log}m_i} = 2^{\operatorname{log}^2m_i}</tex>, <tex>m_0</tex> — некоторое значение, меньшее <tex>k</tex>. Будем последовательно для элементов этой последовательности запускать алгоритм, представленный выше. Если размер очереди <tex>B</tex> становится больше <tex>m_i</tex>, то условие <tex>m \geqslant k</tex> перестает выполняться, тогда останавливаем алгоритм и переходим к следующему значению <tex>m_{i+1}</tex>. Для каждого <tex>m_i</tex> размер списка <tex>\mathtt{merged}</tex> не больше <tex>2m_i</tex>, а количество блоков всего <tex>\lceil n/m_i \rceil</tex>. То общее количество присваиваний новых ключей элементам последовательности, также как и количество операций слияния списков, не больше <tex>2cm_i\cdot\dfrac{n}{m_i}=O(n)</tex>, где c — некоторая константа. Каждая операция с приоритетной очередью требует <tex>O(\log \log m_i)</tex> времени, так как элементы в <tex>B</tex> не больше <tex>2m_i</tex>. Таким образом, время работы запущенного алгоритма для каждого <tex>m_i</tex> — <tex>O(n \log \log {m_i})</tex>. Когда найдётся первое <tex>m_j:m_j\geqslant k</tex>, то алгоритм успешно завершится.  <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_{i+1} = \operatorname{log}\operatorname{log}2^{\operatorname{log}^2m_i} = \operatorname{log}\operatorname{log}^2m_i = 2\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</tex>. <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_j = 2^{j-i}\operatorname{log}\operatorname{log}m_i</codetex> Общее время работы алгоритма для всех обработанных значений <tex>m_i</tex> — <tex>O(n(\sum_{i=0}\limits^{j}{2^{-(i-1)}})\log \log m_i) = Переименование до O(n\operatorname{log}\operatorname{log}m_i)</tex>. Заметим, что <tex>m_i < k^{\operatorname{log}k}</tex>, так как в противном случае <tex>m_{i-1} > k</tex>, что противоречит тому, что <tex>m_i</tex> — первый из тех, которые больше <tex>k</tex>. Следовательно, <tex>\operatorname{log}\operatorname{log}m_i < 2\operatorname{log}\operatorname{log}k \</tex>. Получаем время работы <tex>O(n\operatorname{log}\operatorname{log}k)</tex> . == См. также ==*[[Дерево ван Эмде Боаса]]*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]*[[Наибольшая общая возрастающая подпоследовательность]]*[[Задача о наибольшей общей палиндромной подпоследовательности]] == Источники информации ==* [http://www.bcs.org/upload/pdf/ewic_vs08_s2paper2.pdf Computing a Longest Increasing Subsequence of Length k in Time O(n log log k)] (07.01.2017) [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование]][[Категория: Классические задачи динамического программирования]]