Изменения

'''Вариационный автокодировщик''' (англ. ''Variational Autoencoder'', ''VAE'') {{---}} это [[автокодировщик]] (a.k.a. генеративная модель, которая учится отображать объекты в заданное скрытое пространство (и обратно)) основанный на вариационном выводе.

'''Генеративное Порождающее моделирование''' (англ. ''Generative modelling'') {{---}} область машинного обучения, имеющая дело с распределением <math>P(X)</math>, определенном на датасете <math>X </math> из пространства (возможно многомерного) <math>\ChiX</math>. Так, например, популярные задачи генерации картинок имеют дело с огромным количеством измерений (пикселей).

Также как и в обыкновенных кодировщиках у нас имеется скрытое вероятностное пространство <math>Z </math> соответствующее случайной величине <math>(z, P(z))</math> (распределенной как-нибудь фиксированно, здесь ~<math>\sim N(0, 1)</math>). И мы хотим иметь декодер <math>f(z, \theta) \colon Z \times \Theta \to \Chi X </math>. При этом мы хотим найти такие <math>\theta</math>, чтобы после разыгрывания <math>z </math> по <math>P(z) </math> мы получили "что-то похожее" на элементы <math>X</math>.  Вообще, для любого <math>x \in X</math> мы хотим считать <math>P(x) = \int P(x|z; \theta)P(z)dz</math>, здесь мы заменили <math>f(z, \theta)</math> на <math>P(x|z; \theta)</math>, чтобы явно показать зависимость между <math>x</math> и <math>z</math> и после этого применить формулу полной вероятности. Обычно <math>P(x|z; \theta)</math> около нуля почти для всех пар <math>(x, z)</math>. Основная идея в том, чтомы хотим теперь генерировать <math>z</math>, который бы давали что-то около <math>x</math> и только их суммировать в <math>P(x)</math>. Для этого нам требуется ввести еще одно распределение <math>Q(z|X)</math>, которое будет получать <math>x</math> и говорить распределение на <math>z</math> которое наиболее вероятно будет генерировать нам такой <math>x</math>. Теперь нам нужно как-то сделать похожими распределения <math>E_{z\sim Q}P(X|z)</math> и <math>P(X)</math>.  Рассмотрим следующую дивергенцию Кульбака-Лейблера (''Kullback–Leibler divergence'', ''KL-div'').:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z) − log P(z|X)]</math>, Распишем <math>P(z|X)</math> как <math>P(X|z) * P(z) / P(X)</math>.:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z) − log P(X|z) - log P(z)] + log P(X)</math>, Что эквивалентно::<math>logP(x) - D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z)||P(z)]</math>, Рассмотрим эту штуку для <math>Q(z|X)</math>, тогда::<math>logP(x) - D[Q(z|X)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z|X)||P(z)]</math>, Посмотрим, на это равенство. Правую часть мы можем оптимизировать градиентным спуском (пусть пока и не совсем понятно как).В левой же части первое слагаемое {{---}} то, что мы хотим максимизировать. В то же время <math>D[Q(z|X)||P(z|X)]</math> мы хотим минимизировать. Если у нас <math>Q(z|X)</math> {{---}} достаточно сильная модель, то в какой-то момент она будет хорошо матчить <math>P(z|X)</math>, а значит их дивергенция Кульбака-Лейблера будет почти 0. Значит, при оптимизации можно исключить эту часть и стараться максимизировать только правую. В качестве бонуса мы еще получили более "податливую" <math>P(z|X)</math>, вместо нее можно смотреть на <math>Q(z|X)</math>. Теперь разберемся как оптимизировать правую часть. Сначала нужно определиться с моделью для <math>Q(z|X)</math>. Обычно ее берут равной <math>N(z|\mu(X, \theta), \sigma(X, \theta))</math>. Где <math>\mu</math> и <math>\sigma</math> какие-то похожеедетерминированные функции на X с обучаемыми параметрами <math>\theta</math>, которые мы впредь будем опускать (обычно используются нейронные сети).   Нетрудно проверить, что для дивергенция Кульбака-Лейблера двух нормальных распределений имеет следующий вид::<math>D_{K}[N(\mu_1, \Sigma_0)||N(\mu_1, \Sigma_0)]</math>, KLD есть <math>\frac{1}{2} (tr(\Sigma_1^{-1}\Sigma_0) + (\mu_1 - \mu_0)^T\Sigma_1^{-1}(\mu_1 - \mu_0) - k + log(\frac{det\Sigma_1}{det\Sigma_0})) </math>. Это значит, что:<math>D[Q(z|X)||P(z)] = D[N(\mu(X), \Sigma(X))||N(0, I)] = \frac12 (tr(\Sigma(X)) + \mu(X)^T\mu(X) - k - log(det\Sigma(X)))</math>. Теперь здесь можно считать градиенты, для BackPropagation. С первым слагаемым в правой части все немного сложнее. <math>E_{z∼Q}[log P(X|z)]</math> мы можем считать методом Монте-Карло(МК), но тогда такая штука (из-за того, что переменные спрятаны в распределении, из которого мы генерируем себе выборку, для МК) не является гладкой относительно них, а значит непонятно, как проталкивать через это градиент. Для того, чтобы все-таки можно было протолкнуть градиент, применяется так называемый ''трюк репараметризации'', который базируется на элементы простой формуле <math>N(\Sigma(X), \mu(X)) = \mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * N(0, I) </math>.TODO:<math>E_{z∼Q}[log P(X|z)] = E_{\epsilon \sim N(0, I)}[log P(X = f(\mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * \epsilon), \theta)]</math>. В такой форме мы уже можем использовать BackPropagation для переменных из функций <math>\Sigma</math> и <math>\mu</math>. Следующая картинка лучше поможет осознать структуру VAE и, в частности, зачем нужен (и как работает) трюк репараметризации. На левой части диаграмма без использования reparameterization trick. На правой части диаграмма с использованием reparameterization trick.  [[Файл:VAE.PNG]] взято из https://arxiv.org/pdf/1606.05908.pdf == Пример реализации ==Ниже приведена реализация частного случая VAE на языке Python с использованием библиотеки Pytorch.Эта реализация работает с датасетом MNIST.Размерность скрытого слоя {{---}} 2. Координаты в нем считаются независимыми (из-за этого, например, матрица <math>\Sigma</math> диагональная, и формула для расчета KLD немного другая).  class VariationalAutoencoder(nn.Module): def __init__(self): super().__init__() self.mu = nn.Linear(32, 2) self.gamma = nn.Linear(32, 2) self.encoder = nn.Sequential(nn.Linear(784, 32), nn.ReLU(True)) self.decoder = nn.Sequential(nn.Linear(2, 32), nn.ReLU(True), nn.Linear(32, 784), nn.Sigmoid()) def forward(self, x): mu, gamma = self.encode(x) encoding = self.reparameterize(mu, gamma) x = self.decoder(encoding) return x, mu, gamma def reparameterize(self, mu, gamma): if self.training: sigma = torch.exp(0.5*gamma) std_z = Variable(torch.from_numpy(np.random.normal(0, 1, size=sigma.size())).float()) encoding = std_z.mul(sigma).add(mu) return encoding else: return mu def encode(self, x): x = self.encoder(x) mu = self.mu(x) gamma = self.gamma(x) return mu, gamma def decode(self, x): return self.decoder(x) def latent(self, x): mu, gamma = self.encode(x) encoding = self.reparameterize(mu, gamma) return encoding def loss_function(input, output, mu, gamma, batch_size=batch_size): BCE = F.binary_cross_entropy(output, input) KLD = -0.5*torch.sum(1 + gamma - mu.pow(2) - gamma.exp()) KLD /= batch_size*784 return BCE + KLD

* Каскадное обучение глубоких сетей (хотя сейчас применяется все реже, в связи с появлением новых методов инициализации случайными весамивесов);* Уменьшение шума в данных;* Уменьшение размерности данных (иногда работает лучше, чем [[метод главных компонент]]^{[на 28.01.19 не создан]}). Благодаря тому, что пользователь сам устанавливает нужное распределение скрытого вектора, вариационный кодировщик хорошо подходит для генерации новых объектов (например, картинок). Для этого достаточно разыграть скрытый вектор согласно его распределению и подать на вход декодера. Получится объект из того же распределения, что и датасет. == См. также ==*[[:Автокодировщик|Автокодировщик]] *[[:Generative Adversarial Nets (GAN)|Порождающие состязательные сети]] == Примечания ==*[https://habr.com/ru/post/429276/ Вариационные автокодировщики: теория и рабочий код]*[https://jaan.io/what-is-variational-autoencoder-vae-tutorial/ Tutorial - What is a variational autoencoder?]*[https://towardsdatascience.com/intuitively-understanding-variational-autoencoders-1bfe67eb5daf Intuitively Understanding Variational Autoencoders] == Источники информации ==*[https://arxiv.org/abs/1606.05908 Tutorial on Variational Autoencoders]*Datalore презентация Дениса Степанова