Изменения

'''Вариационный автокодировщик''' (англ. ''Variational Autoencoder'', ''VAE'') {{---}} это [[автокодировщик]]^{[на 27.01.19 не создан]} (a.k.a. генеративная модель, которая учится отображать объекты в заданное скрытое пространство (и обратно)) основанный на вариационном выводе.

'''Порождающее моделирование''' (англ. ''Generative modelling'') {{---}} область машинного обучения, имеющая дело с распределением <math>P(X)</math>, определенном на датасете <math>X</math> из пространства (возможно многомерного) <math>\ChiX</math>. Так, например, популярные задачи генерации картинок имеют дело с огромным количеством измерений (пикселей).

Также как и в обыкновенных кодировщиках у нас имеется скрытое вероятностное пространство <math>Z</math> соответствующее случайной величине <math>(z, P(z))</math> (распределенной как-нибудь фиксированно, здесь <math>~\sim N(0, 1)</math>). И мы хотим иметь декодер <math>f(z, \theta) \colon Z \times \Theta \to \Chi X </math>. При этом мы хотим найти такие <math>\theta</math>, чтобы после разыгрывания <math>z</math> по <math>P(z)</math> мы получили "что-то похожее" на элементы <math>X</math>.

Вообще, для любого <math>x \in X</math> мы хотим считать <math>P(x) = \int P(x|z; \theta)P(z)dz</math>, здесь мы заменили <math>f(z, \theta)</math> на <math>P(x|z; \theta)</math>, чтобы явно показать зависимость между <math>x</math> и <math>z</math> и после этого применить формулу полной вероятности. Обычно <math>P(x|z; \theta)</math> около нуля почти для всех пар <math>(x, z)</math>. Основная идея в том, что мы хотим теперь генерировать <math>z</math>, который бы давали что-то около <math>x</math> и только их суммировать в <math>P(x)</math>. Для этого нам требуется ввести еще одно распределение <math>Q(z|X)</math>, которое будет получать <math>x</math> и говорить распределение на <math>z</math> которое наиболее вероятно будет генерировать нам такой <math>x</math>. Теперь нам нужно как-то сделать похожими распределения <math>E_{z~\sim Q}P(X|z)</math> и <math>P(X)</math>.

Рассмотрим следующую дивергенцию Кульбака-Лейблера(''Kullback–Leibler divergence'', ''KL-div'').:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z|X) − log P(z|X)]</math>,

:<math>D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q} [log Q(z) − log P(X|z) - log P(z)] + log P(X)</math>,

:<math>logP(x) - D[Q(z)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z)||P(z)]</math>,

:<math>logP(x) - D[Q(z|X)||P(z|X)] = E_{z∼Q}[log P(X|z)] - D[Q(z|X)||P(z)]</math>,

В левой же части первое слагаемое {{-- -}} то, что мы хотим максимизировать. В то же время <math>D[Q(z|X)||P(z|X)]</math> мы хотим минимизировать. Если у нас <math>Q(z|X)</math> {{--- }} достаточно сильная модель, то в какой-то модель момент она будет хорошо матчить <math>P(z|X)</math>, а значит их дивергенция Кульбака-Лейблера будет почти 0. А значит на это слагаемое Значит, при оптимизации можно забить. И исключить эту часть и стараться максимизировать только правую часть. В качестве бонуса мы еще получили более "поддатливуюподатливую" <math>P(z|X)</math>, вместо нее можно смотреть на <math>Q(z|X)</math>.

Теперь разберемся как оптимизировать правую часть. Сначала нужно определиться с моделью для <math>Q(z|X)</math>. Обычно ее берут равной <math>N(z|\mu(X, \theta), \sigma(X, \theta))</math>. Где <math>\mu</math> и <math>\sigma</math> какие-то детерминированные функции на X с обучаемыми параметрами <math>\theta</math>, которые мы впредь будем опускать(обычно используются нейронные сети). Ага, нейронки.

Нетрудно проверить, что для дивергенция Кульбака-Лейблера двух нормальных распределений имеет следующий вид.:

можно считать градиенты, для BackPropagation. С первым слагаемым в правой части все немного сложнее. <math>E_{z∼Q}[log P(X|z)]</math> мы можем считать методом Монте-Карло(МК), но тогда такая штука (из-за того, что переменные спрятаны в распределении, из которого мы генерируем себе выборку, для МК) не является гладкой относительно них, а значит непонятно, как проталкивать через это градиент. Для того, чтобы все-таки можно было протолкнуть градиент, применяется так называемый reparametrization trick''трюк репараметризации'', который базируется на простой формуле <math>N(\Sigma(X), \mu(X)) = \mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * N(0, I) </math>.

:<math>E_{z∼Q}[log P(X|z)] = E_{\epsilon~\sim N(0, I)}[log P(X = f(\mu(X) + \Sigma^{\frac12}(X) * \epsilon), \theta)]</math>.

Следующая картинка лучше поможет осознать структуру VAE и, в частности, зачем нужен (и как работает) reparametrization trickтрюк репараметризации.

* Каскадное обучение глубоких сетей (хотя сейчас применяется все реже, в связи с появлением новых методов инициализации весов);* Уменьшение шума в данных;* Уменьшение размерности данных (иногда работает лучше, чем [[метод главных компонент]]^{[на 2728.01.19 не создан]}).

Благодаря тому, что пользователь сам устанавливает нужное распределение скрытого вектора, вариационный кодировщик хорошо подходит для генерации новых объектов (например, картинок). Для этого достаточно разыграть скрытый вектор согласно его распределению и скормить ее в декодерподать на вход декодера. Получится объект из того же распределения, что и датасет.

*[[:Автокодировщик|Автокодировщик]]^{[на 27.01.19 не создан]}