286
правок
Изменения
Нет описания правки
==Основные определения==
{{Определение | definition =
'''Дискретным вероятностным пространством ''' (англ. ''discrete probability space'') называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества <tex>\Omega</tex> и функции <tex>p\colon \Omega \to \mathbb R_+ </tex> ( <tex>\Omega</tex> называется '''множеством элементарных исходов'''(англ. ''sample space''), <tex>\omega \in \Omega</tex> {{--- }} '''элементарным исходом''' (англ. ''elementary outcome''), такая, что <tex>\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1</tex>.
}}
{{Определение | definition =<tex>p</tex> называют '''дискретной вероятностной мерой'''(англ. ''discrete probability measure''), или '''дискретной плотностью вероятности'''(англ. ''discrete probability density'').<br>}}
<tex>p(\omega)</tex> {{- --}} вероятность элементарного исхода.
<br>
{{Определение | definition =
Множество <tex>A \subset \Omega</tex> называется '''событием''' (англ. ''event'').
}}
<tex>p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}</tex>, то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.
{{Определение | definition = '''Прямым произведением вероятностных пространств''' (англ. ''direct product of probability spaces'') <tex>X=\:<langle\Omega_{1};,p{}_{1}>\rangle</tex> и <tex>Y=\:<langle\Omega_{2};,p{}_{2}>\rangle</tex> называется такое вероятностное пространство <tex>Z<\:\langle\Omega;,p> \rangle \: = X\times Y</tex>, что<br /><tex>\Omega=\Omega_{1}\times\Omega_{2}</tex>;<br /><tex> p(\omega_{1};,\omega_{2}) = p(\omega_{1})\cdot p(\omega_{2})</tex>
}}
Другими словами, <tex>\Omega</tex> {{- --}} множество всех пар элементарных исходов из <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> (т.е. декартово произведение этих множеств).
==Примеры вероятностных пространств==
# '''Конечные вероятностные пространства'''
## '''Честная монета''' <br /> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{0,1\right\}</tex>, где <tex>0</tex> {{---}} выпадает орел, <tex>1</tex> {{---}} выпадает решка. <tex> p(0)=p(1)=0,5.</tex> <br /> Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства. <br/> <tex>\varnothing </tex>: <tex> p(\varnothing)=0</tex>. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю. <br/> <tex>\left\{0\right\} </tex>: <tex> p(0)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй. <br/> <tex>\left\{1\right\} </tex>: <tex> p(1)=0,5</tex>. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.<br/> <tex>\left\{0,1\right\} </tex>: <tex> p(\left\{0,1\right\})=1</tex>. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
## '''Нечестная монета''' <br/> Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако <tex>p(0)=x, p(1) = 1 - x=y</tex>, где <tex>x,y \in \left[ 0,1 \right ]</tex>.
## '''Игральная кость''' <br/> Множество исходов <tex>\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}</tex>. <tex> p(i)= \dfrac {1}{6}.</tex> Рассмотрим некоторые события этого пространства. <br/> <tex>A=\left\{1,2,3 \right\}</tex> : <tex>p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.</tex> Вероятность выпадения одного из трех чисел из множества <tex>A</tex> равна одной второй. <br/> <tex>B=\left\{2,4 \right\}</tex> : <tex>p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.</tex> Числа <tex>2</tex> или <tex>4</tex> выпадут с вероятностью одна треть.
## '''Колода карт''' <br/> <tex>\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1 \ldots 4\right\}; j \in \left\{1 \ldots 13\right\} \right\}</tex>. Здесь <tex>i</tex> {{---}} масть, <tex>j</tex> {{---}} достоинство карты. <br/> Вероятность элементарного исхода этого пространства <tex>p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.</tex>
# '''Бесконечное вероятностное пространство''' <br/> Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на <tex>i</tex>-ом подбрасывании честной монеты в первый раз. <br/> Тогда вероятность исхода с номером <tex>i</tex> равна: <tex> p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .</tex> <br/> Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным <tex> \dfrac {1}{2} .</tex> Найдем сумму этой прогрессии: <tex> \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.</tex> <br/> Так как сумма всех элементарных исходов равна <tex>1,</tex> то это множество является вероятностным пространством.
==ЛитератураИсточники информации==1*[http://ru. wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство Википедия {{---}} Вероятностное пространство]*[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE MachineLearning.ru {{---}} Дискретное вероятностное пространство]*''Ширяев А.Н.'' Вероятность. — {{---}} М.: МЦНМО, 2004.
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности ]]
