Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Соотношение вероятностных классов)
(См. также)
 
(не показано 28 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
[[Категория: Теория сложности]]
 
[[Категория: Теория сложности]]
 
'''Вероятностные вычисления''' — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ, говоря неформально, к генератору случайных чисел. Мы рассмотрим классы сложности, для которых программы могут работать за полиномиальное время и делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.
 
'''Вероятностные вычисления''' — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ, говоря неформально, к генератору случайных чисел. Мы рассмотрим классы сложности, для которых программы могут работать за полиномиальное время и делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.
  
== Основные определения ==
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
Строка 15: Строка 13:
 
Используя тезис Черча-Тьюринга, ВМТ можно сопоставить программы, имеющие доступ к случайным битам. Обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции ''random''(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом программы или ВМТ, т.е. <tex>p(x) = p(x, r)</tex>, где <tex>r</tex> — вероятностная лента.
 
Используя тезис Черча-Тьюринга, ВМТ можно сопоставить программы, имеющие доступ к случайным битам. Обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции ''random''(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом программы или ВМТ, т.е. <tex>p(x) = p(x, r)</tex>, где <tex>r</tex> — вероятностная лента.
  
Введем вероятностное пространство <tex>(\Omega, \Sigma, \operatorname{P})</tex>, где пространство элементарных исходов <tex>\Omega</tex> — множество всех вероятностных лент, <tex>\Sigma</tex> — сигма-алгебра подмножеств <tex>\Omega</tex>, <tex>\operatorname{P}</tex> — вероятностная мера, заданная на <tex>\Sigma</tex>. Покажем, что любой предикат от ВМТ является событием.
+
Введем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство вероятностное пространство] <tex>(\Omega, \Sigma, \operatorname{P})</tex>, где пространство элементарных исходов <tex>\Omega</tex> — множество всех вероятностных лент, <tex>\Sigma</tex> — сигма-алгебра подмножеств <tex>\Omega</tex>, <tex>\operatorname{P}</tex> — вероятностная мера, заданная на <tex>\Sigma</tex>. Будем считать, что <tex>\Sigma</tex> порождена событиями, зависящими лишь от конечного числа бит вероятностной ленты (то есть существующими в дискретных вероятностных пространствах). Покажем, что любой предикат от ВМТ является событием.
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement= Пусть <tex>m</tex> — ВМТ. Тогда <tex>\forall x, \forall A</tex> — предикат от <tex>m</tex>: <tex>R = \{r | A(m(x, r))\} \in \Sigma</tex>, т.е. <tex>R</tex> измеримо.
+
|statement= Пусть <tex>m</tex> — ВМТ. Тогда для любых <tex>x</tex> и <tex>A</tex> — предиката от <tex>m</tex> выполняется <tex>R = \{r \bigm| A(m(x, r))\} \in \Sigma</tex>, т.е. <tex>R</tex> измеримо.
 
|proof=
 
|proof=
<tex>R = \bigcup\limits_{i = 0}^\infty R_i</tex>, <tex>R_i = \{r | A(m(x, r)), m</tex> прочитала ровно <tex>i</tex> первых символов с вероятностной ленты<tex>\}</tex>.
+
<tex>R = \bigcup\limits_{i = 0}^\infty R_i</tex>, где <tex>R_i = \{r \bigm| A(m(x, r)), m</tex> прочитала ровно <tex>i</tex> первых символов с <tex>r\}</tex>. Это верно, поскольку мы рассматриваем только завершающиеся ВМТ. Кроме того, из определения <tex>R_i</tex> следует, что они дизъюнктны.
  
<tex>R_i \in \Sigma</tex>, <tex>\operatorname{P}(R_i) = \frac{1}{2^i} \cdot |\{s : |s| = i, s</tex> — префикс <tex>r \in R_i\}|</tex>, <tex>R_i</tex> дизъюнктны.
+
<tex>R_i \in \Sigma</tex> как зависящие от <tex>i</tex> первых битов вероятностной ленты, <tex>\operatorname{P}(R_i) = \frac{1}{2^i} \cdot |\{s \bigm| |s| = i, s</tex> — префикс <tex>r \in R_i\}|</tex>.
  
<tex>R \in \Sigma</tex> как счетное объединение множеств, при этом <tex>\operatorname{P}(R) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \operatorname{P}(R_i)</tex>.
+
<tex>R \in \Sigma</tex> как счетное объединение событий, при этом из их дизъюнктности следует, что <tex>\operatorname{P}(R) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \operatorname{P}(R_i)</tex>.
}}
 
 
 
== Вероятностные сложностные классы ==
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{ZPP}</tex> (от ''zero-error probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 
# <tex>\operatorname{P}(p(x) \ne [x \in L]) = 0</tex>;<br>
 
# <tex>\operatorname{E}[\operatorname{T}(p(x))] = poly(|x|)</tex>.<br>
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{RP}</tex> (от ''randomized polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 
# <tex>x \notin L \Rightarrow \operatorname{P}(p(x) = 0) = 1</tex>;<br>
 
# <tex>x \in L \Rightarrow \operatorname{P}(p(x) = 1) \ge 1/2</tex>;<br>
 
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|).</tex>
 
}}
 
Заметим, что константа <tex>1/2</tex> в пункте 2 определения <tex>\mathrm{RP}</tex> может быть заменена на любую другую из промежутка <tex>(0, 1)</tex>, поскольку требуемой вероятности можно добиться множественным запуском программы.
 
 
 
<tex>\mathrm{RP}</tex> можно рассматривать как вероятностный аналог класса <tex>\mathrm{NP}</tex>, предполагая, что вероятность угадать сертификат в случае его существования не менее <tex>1/2</tex>.
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{coRP} = \{L | \overline L \in \mathrm{RP}\}</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{BPP}</tex> (от ''bounded probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) \ge 2/3</tex>;<br>
 
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)</tex>.
 
}}
 
Аналогично сделанному выше замечанию, константу <tex>2/3</tex> можно заменить на любое число из промежутка <tex>(1/2, 1)</tex>. Замена константы на <tex>1/2</tex> сделало бы данный класс равным <tex>\Sigma^*</tex> (программа, возвращающая результат функции ''random''(), подошла бы для любого языка).
 
 
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{PP}</tex> (от ''bounded probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) > 1/2</tex>;<br>
 
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)</tex>.
 
}}
 
 
 
== Соотношение вероятностных классов ==
 
{{Теорема
 
|statement = <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
 
|proof =
 
Утверждение <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP}</tex> является очевидным, так как программы, удовлетворяющие ограничениям <tex>\mathrm{P}</tex>, также удовлетворяют ограничениям класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.
 
 
 
Покажем, что <tex>\mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
 
Для этого определим вспомогательный класс <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>.
 
{{Определение
 
|definition =
 
<tex>\mathrm{ZPP}_1</tex> — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 
# <tex>p(x) \in \{0, 1, ?\}</tex>;
 
# <tex>p(x) \ne \enskip? \Rightarrow p(x) = [x \in L]</tex>;
 
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = \enskip?) \le 1/2</tex>;
 
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|).</tex>
 
}}
 
1. Сначала докажем, что <tex>\mathrm{ZPP} = \mathrm{ZPP}_1</tex>.
 
 
 
1) <tex>\mathrm{ZPP} \subset \mathrm{ZPP}_1</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>X</tex> — случайная величина, равная времени работы программы <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex>, <tex>X > 0</tex>. Запишем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Маркова неравенство Маркова]:
 
 
 
<tex>\operatorname{P}(X > k \operatorname{E}[X]) \le 1/k</tex>.
 
 
 
Подставим <tex>k = 2</tex>. Тогда, если запустить программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex> с ограничением по времени <tex>2E[X]</tex>, она не успеет завершиться с вероятностью, не превышающей <tex>1/2</tex>. Опишем программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>. Она будет возвращать <tex>?</tex>, если <tex>p</tex> не успеет завершиться, а иначе — результат работы программы <tex>p</tex>. Заметим, что <tex>q</tex> работает полиномиальное время, так как <tex>E[X]</tex> ограничено некоторым полиномом по определению класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.
 
 
 
2) <tex>\mathrm{ZPP_1} \subset \mathrm{ZPP}</tex>.
 
Будем запускать программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP_1}</tex>, пока не получим ответ, отличный от <tex>?</tex>. Математическое ожидание количества запусков <tex>p</tex> не превышает <tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{k}{2^k} = 2</tex>. Значит, новая программа будет в среднем работать за полиномиальное время, что и требуется для класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.
 
 
 
2. Теперь покажем, что <tex>\mathrm{ZPP}_1 = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
 
 
 
1) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \subset \mathrm{RP}</tex>. Достаточно вместо <tex>?</tex> возвращать <tex>0</tex>.
 
 
 
2) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \subset\mathrm{coRP}</tex>. Достаточно вместо <tex>?</tex> возвращать <tex>1</tex>.
 
 
 
3) <tex>\mathrm{ZPP}_1 \supset \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}</tex>.
 
Пусть программа <tex>p_1</tex> удовлетворяет ограничениям <tex>RP</tex> и ошибается на словах из языка <tex>L</tex> с вероятностью не более <tex>1/2</tex>, а программа <tex>p_2</tex> удовлетворяет ограничениям <tex>coRP</tex> и ошибается на словах не из языка <tex>L</tex> с аналогичной вероятностью. Построим программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>:
 
  q(x):
 
    '''if''' p(x) = 0:
 
      '''return''' 0
 
    '''if''' q(x) = 1:
 
      '''return''' 1
 
    '''return''' ?
 
 
 
Вероятность вывести <tex>?</tex> есть <tex>\operatorname{P}(p(x) = 1, q(x) = 0) \le 1/2</tex>.
 
}}
 
 
 
{{Теорема
 
|statement = <tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP} \subset \mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}</tex>.
 
|proof =
 
1. <tex>\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP}</tex>. Если в программе для <tex>L \in \mathrm{RP}</tex> заменить все вызовы ''random''() на недетерминированный выбор, то получим программу для <tex>L</tex> с ограничениями <tex>\mathrm{NP}</tex>.
 
 
 
2. <tex>\mathrm{NP} \subset \mathrm{PP}</tex>. Приведем программу <tex>q</tex> с ограничениями класса <tex>\mathrm{PP}</tex>, которая разрешает <tex>L \in \mathrm{NP}</tex>. Пусть функция ''infair_coin''() моделирует нечестную монету, а именно возвращает единицу с вероятностью <tex>1/2 - \varepsilon</tex>, где <tex>\varepsilon</tex> мы определим позже, и ноль с вероятностью <tex>1/2 + \varepsilon</tex>. Пусть также <tex>V</tex> — верификатор сертификатов для <tex>L</tex>. Тогда <tex>q</tex> будет выглядеть следующим образом:
 
  q(x):
 
    c <- случайный сертификат (полиномиальной длины)
 
    '''if''' V(x, c):
 
      '''return''' 1
 
    '''return''' infair_coin()
 
Необходимо удовлетворить условию <tex>\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) > 1/2</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>x \notin L</tex>. В этом случае <tex>V(x, c)</tex> вернет <tex>0</tex> и результат работы программы будет зависеть от нечестной монеты. Она вернет <tex>0</tex> с вероятностью <tex>1/2 + \varepsilon > 1/2</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>x \in L</tex>. Тогда [[Формула полной вероятности|по формуле полной вероятности]] <tex>\operatorname{P}(p(x) = 1) = p_0 + (1 - p_0) (1/2 - \varepsilon)</tex>, где <tex>p_0</tex> — вероятность угадать правильный сертификат. Заметим, что поскольку все сертификаты имеют полиномиальную длину и существует хотя бы один правильный сертификат, <tex>p_0</tex> не более чем экспоненциально мала. Найдем <tex>\varepsilon</tex> из неравенства <tex>\operatorname{P}(p(x) = 1) > 1/2</tex>:
 
 
 
<tex>p_0 + 1/2 - \varepsilon - p_0 / 2 + p_0 \varepsilon > 1/2</tex>; <tex>p_0 / 2 + (p_0 - 1)\varepsilon > 0</tex>; <tex>\varepsilon < \frac{p_0}{2 (1 - p_0)}</tex>.
 
 
 
Достаточно взять <tex>\varepsilon < p_0 / 2</tex>. Из сделанного выше замечания следует, что работу функции ''infair_coin''() можно смоделировать с помощью полиномиального количества вызовов ''random''(). Таким образом, мы построили программу <tex>q</tex>, удовлетворяющую ограничениям класса <tex>\mathrm{PP}</tex>.
 
 
 
3. <tex>\mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}</tex>. Пусть <tex>p</tex> — программа для языка <tex>L \in \mathrm{PP}</tex>. Она используют не более чем полиномиальное количество вероятностных бит, так как сама работает за полиномиальное время. Тогда программа для <tex>\mathrm{PS}</tex> будет перебирать все участки вероятностных лент нужной полиномиальной длины и запускать на них <tex>p</tex>. Ответом будет <tex>0</tex> или <tex>1</tex> в зависимости от того, каких ответов <tex>p</tex> оказалось больше.
 
}}
 
 
 
{{Теорема
 
|statement =
 
<tex>\mathrm{RP} \cup \mathrm{coRP} \subset \mathrm{BPP}</tex>.
 
|proof =
 
Пусть <tex>p</tex> — программа для <tex>L \in RP</tex>. Программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{BPP}</tex> определим следующим образом:
 
  q(x):
 
    u <- p(x)
 
    v <- p(x)
 
    '''return''' u '''or''' v
 
Пусть <tex>x \in L</tex>. В этом случае вероятность ошибки равна <tex>\operatorname{P}(u = 0, v = 0) = \operatorname{P}(u = 0) \cdot \operatorname{P}(v = 0) \le 1/4</tex>.
 
 
 
Пусть <tex>x \notin L</tex>. Тогда с вероятностью <tex>1</tex> будет верно <tex>u = 0, v = 0</tex> и <tex>q</tex> вернет правильный ответ.
 
 
 
Аналогично доказывается, что <tex>\mathrm{coRP} \subset \mathrm{BPP}</tex>.
 
 
}}
 
}}
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[Теоремы о BPP, BPPweak и BPPstrong]]
+
* [[Классы RP и coRP]]
* [[Уменьшение ошибки в классе RP]]
+
* [[Класс ZPP]]
* [[Теорема Лаутемана]]
+
* [[Класс BPP]]
  
 
== Литература ==
 
== Литература ==
 
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/ Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach]
 
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/ Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach]

Текущая версия на 23:49, 4 июня 2012

Вероятностные вычисления — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ, говоря неформально, к генератору случайных чисел. Мы рассмотрим классы сложности, для которых программы могут работать за полиномиальное время и делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.


Определение:
Вероятностная лента — бесконечная в одну сторону последовательность битов, распределение которых подчиняется некоторому вероятностному закону (обычно считают, что биты в различных позициях независимы и вероятность нахождения [math]0[/math] или [math]1[/math] в каждой позиции равна [math]1/2[/math]).


Определение:
Вероятностная машина Тьюринга (ВМТ) — детерминированная машина Тьюринга, имеющая вероятностную ленту. Переходы в ВМТ могут осуществляться с учетом информации, считанной с вероятностной ленты.


Используя тезис Черча-Тьюринга, ВМТ можно сопоставить программы, имеющие доступ к случайным битам. Обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции random(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом программы или ВМТ, т.е. [math]p(x) = p(x, r)[/math], где [math]r[/math] — вероятностная лента.

Введем вероятностное пространство [math](\Omega, \Sigma, \operatorname{P})[/math], где пространство элементарных исходов [math]\Omega[/math] — множество всех вероятностных лент, [math]\Sigma[/math] — сигма-алгебра подмножеств [math]\Omega[/math], [math]\operatorname{P}[/math] — вероятностная мера, заданная на [math]\Sigma[/math]. Будем считать, что [math]\Sigma[/math] порождена событиями, зависящими лишь от конечного числа бит вероятностной ленты (то есть существующими в дискретных вероятностных пространствах). Покажем, что любой предикат от ВМТ является событием.

Теорема:
Пусть [math]m[/math] — ВМТ. Тогда для любых [math]x[/math] и [math]A[/math] — предиката от [math]m[/math] выполняется [math]R = \{r \bigm| A(m(x, r))\} \in \Sigma[/math], т.е. [math]R[/math] измеримо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]R = \bigcup\limits_{i = 0}^\infty R_i[/math], где [math]R_i = \{r \bigm| A(m(x, r)), m[/math] прочитала ровно [math]i[/math] первых символов с [math]r\}[/math]. Это верно, поскольку мы рассматриваем только завершающиеся ВМТ. Кроме того, из определения [math]R_i[/math] следует, что они дизъюнктны.

[math]R_i \in \Sigma[/math] как зависящие от [math]i[/math] первых битов вероятностной ленты, [math]\operatorname{P}(R_i) = \frac{1}{2^i} \cdot |\{s \bigm| |s| = i, s[/math] — префикс [math]r \in R_i\}|[/math].

[math]R \in \Sigma[/math] как счетное объединение событий, при этом из их дизъюнктности следует, что [math]\operatorname{P}(R) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \operatorname{P}(R_i)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Литература[править]