Редактирование: Верхние и нижние оценки хроматического числа

== Верхняя оценка длиной максимального нечетного цикла  ==
{{Лемма 
|about = оценка хроматического числа длиной максимального нечётного цикла
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> {{---}} длина максимального простого цикла графа <tex>G</tex>, <tex>\Delta \geqslant 3</tex>. Тогда, <tex>\chi(G) \leqslant\Delta(G) + 1</tex>. 
|proof=
Опишем на графе следующий алгоритм раскраски:
*Из произвольной вершины <tex>v</tex> запустим алгоритм поиска в глубину. Пусть <tex>T</tex> {{---}} дерево обхода глубина графа <tex>G</tex> с корнем в вершине <tex>v</tex>.
*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex>  \bmod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a, b </tex> одного цвета. Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \geqslant 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \geqslant 1</tex>. То есть, вершины <tex>a, b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски  нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \leqslant \Delta(G) + 1</tex>
 

}}

==Нижняя оценка числом независимости ==
{{Определение
 	
|definition=
Подмножество <tex>S</tex> вершин графа <tex>G</tex>  называется '''независимым''', если любые две вершины из <tex>S</tex> не смежны в <tex>G</tex> 
}}

{{Определение
 	
|definition=
'''Число независимости''' <tex>\alpha(G)</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> {{---}} <tex>\max \{|S|:S \in V</tex> и <tex>S</tex> независимо в G<tex>\}</tex>
}}
{{Лемма 
|about = нижняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами .Тогда, <tex>n/\alpha \leqslant \chi(G)</tex>. 
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.Каждое из <tex>V_i</tex> {{---}} независимое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа <tex>G</tex>, следовательно, они попарно не смежны внутри множества ).
Заметим, что для произвольного <tex>i</tex>, <tex>|V_i| \leqslant \alpha</tex> (т.к <tex>V_i</tex> независимое множество). То есть, <tex>\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \leqslant \chi  \alpha </tex>, следовательно <tex>n / \alpha \leqslant \chi</tex>.
}}

== Верхняя оценка количеством ребер ==
{{Лемма 
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с  <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \leqslant \dfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \dfrac{1}{4}}</tex>. 
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\dfrac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \dfrac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \dfrac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \dfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \dfrac{1}{4}} </tex>.
}}

== Нижняя оценка количеством ребер и количеством вершин ==
{{Лемма 
|about = нижняя оценка Геллера
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами. Тогда, <tex>\dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>. 
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
<tex>m \leqslant \dfrac{1}{2}n(n - 1) - \dfrac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \dfrac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \dfrac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \dfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \dfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \dfrac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.
}}

==См. также==
*[[Хроматическое_число_планарного_графа|Хроматическое число планарного графа]]

== Источники информации ==
* [http://www.ucdenver.edu/academics/colleges/CLAS/Departments/math/students/alumni/Documents/Student%20Theses/Mitchell_MSThesis.pdf Множество разных оценок для хроматических чисел]
* [http://geometr.freehostia.com/sravnenie_summ.html Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел]


[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Раскраски графов]]