Редактирование: Верхние и нижние оценки хроматического числа

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 37: Строка 37:
 
{{Лемма  
 
{{Лемма  
 
|about = верхняя оценка
 
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с  <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \leqslant \dfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \dfrac{1}{4}}</tex>.  
+
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с  <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex dpi=140>\chi(G) \leqslant \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}}</tex>.  
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
 
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\dfrac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \dfrac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \dfrac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \dfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \dfrac{1}{4}} </tex>.
+
Тогда, <tex dpi=140>\frac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \frac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \frac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}} </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 46: Строка 46:
 
{{Лемма  
 
{{Лемма  
 
|about = нижняя оценка Геллера
 
|about = нижняя оценка Геллера
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами. Тогда, <tex>\dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>.  
+
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами. Тогда, <tex dpi=140>\frac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>.  
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
 
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
<tex>m \leqslant \dfrac{1}{2}n(n - 1) - \dfrac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \dfrac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \dfrac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \dfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \dfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \dfrac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.
+
<tex dpi=140>m \leqslant \frac{1}{2}n(n - 1) - \frac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \frac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \frac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \frac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} =  \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \frac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.
 
}}
 
}}
  

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: