Изменения

|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{- --}} произвольный связный неориентированный граф и <tex>\Delta(G)</tex> {{--- }} длина максимального простого цикла графа <tex>G</tex>, <tex>\Delta \ge geqslant 3</tex>. Тогда, <tex>\chi(G) \le leqslant\Delta(G) + 1</tex>.

*Из произвольной вершины <tex>v</tex> запусти запустим алгоритм поиска в глубину. Пусть <tex>T</tex> {{---}} дерево обхода глубина графа <tex>G</tex> с корнем в вершине <tex>v</tex>.*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod bmod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.

Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a,b </tex> одного цвета.Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \ge geqslant 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \ge geqslant 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \le leqslant \Delta(G) + 1</tex>

 ==Оценка связанная с внутренним устойчивым множеством Нижняя оценка числом независимости ==

Подмножество <tex>S</tex> вершин графа <tex>G</tex> называется '''внутренне устойчивымнезависимым''', если любые две вершины из <tex>S</tex> не смежны в <tex>G</tex>

'''Число внутренней устойчивостинезависимости''' <tex>\alpha(G)</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> {{---}} <tex>\max \{|S|:S \in V</tex> и <tex>S внутренне устойчиво </tex> независимо в G<tex>\}</tex>

|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{- --}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>n/\alpha \le leqslant \chi(G)</tex>.

Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.Каждое из <tex>V_i</tex> {{---}} внутренне устойчивое независимое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа <tex>G</tex>, следовательно , они попарно не смежны внутри множества ).Заметим, что для произвольного <tex>i</tex>, <tex>|V_i| \le leqslant \alpha</tex> (т.к <tex>V_i</tex> внутренне устойчивонезависимое множество). То есть, <tex>\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \le leqslant \chi \alpha </tex>, следовательно <tex>n / \alpha \le leqslant \chi</tex>.

 == Верхняя оценка количеством ребром ребер ==

|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{--- }} произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \le leqslant \fracdfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \fracdfrac{1}{4}}</tex>. |proof=Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).Тогда, <tex>\dfrac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \dfrac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \dfrac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \dfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \dfrac{1}{4}} </tex>.}} == Нижняя оценка количеством ребер и количеством вершин =={{Лемма |about = нижняя оценка Геллера|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами. Тогда, <tex>\dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>.

Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя такими различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).Тогда, <tex>m \leqslant \fracdfrac{1}{2}n(n - 1) - \dfrac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \chiRightarrow \dfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \dfrac{n^2}{n^2 -n(n -1) + \le m sum\Rightarrow (limits^{\chi }_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{1n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{2i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \dfrac{n^2 }{\le 2m + sum\fraclimits^{1\chi}_{4i = 1} |V_i| + \Rightarrow sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(G|V_i| - 1) } = \dfrac{n^2}{\le sum\limits^{\fracchi}_{i = 1}{|V_i|^2} += \dfrac{(\sum\sqrtlimits^{2m + \fracchi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{4i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.