Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Верхние и нижние оценки хроматического числа

29 байт добавлено, 20:01, 15 октября 2018
Верхняя оценка длиной максимального нечетного цикла
|proof=
Опишем на графе следующий алгоритм раскраски:
*Из произвольной вершины <tex>v</tex> запусти запустим алгоритм поиска в глубину. Пусть <tex>T</tex> {{---}} дерево обхода глубина графа <tex>G</tex> с корнем в вершине <tex>v</tex>.*Произвольную вершину <tex>u</tex>, покрасим в цвет <tex>dist(v,u)</tex> <tex> \mod bmod </tex> <tex> (\Delta + 1)</tex>, где <tex>dist(v,u)</tex>{{---}} расстояние между вершинами <tex>u,v</tex> в графe <tex>T</tex>.
Докажем от противного, что после выполнения описанного алгоритма граф <tex>G</tex> будет правильно раскрашен.
Предположим, что после выполнения алгоритма покраски в графе существует ребро, соединяющее вершины <tex> a,b </tex> одного цвета.Пусть <tex>color(v)</tex> {{---}} цвет вершины после выполнения алгоритма раскраски.Заметим, что для произвольной вершины графа <tex>p</tex>, <tex>dist(v,p) = color(p) + n(\Delta + 1)</tex> , <tex>n \geqslant 0 </tex>.Тогда, <tex>dist(v,a) - dist(v,b) = k(\Delta + 1)</tex>.Поскольку в дереве dfs между вершинами находящимися на одинаковом расстоянии от корня нет перекрестных ребер, то <tex> k \geqslant 1</tex>. То есть, вершины <tex>a,b</tex> лежат на простом цикле длины по крайней мере <tex>\Delta + 2</tex>. Получается противоречие с условием потому, что длина максимального простого цикла получается больше чем <tex>\Delta</tex>.
Таким образом в графе <tex>G</tex> после выполнения алгоритма раскраски нет вершин одного цвета соединенных ребром и при этом каждая вершина покрашена в один из <tex>\Delta + 1</tex>, то есть <tex>G</tex> правильно раскрашен в <tex>\Delta + 1</tex> цвет, следовательно <tex>\chi(G) \leqslant \Delta(G) + 1</tex>
}}
 
==Нижняя оценка числом независимости ==
{{Определение
|definition=
'''Число независимости''' <tex>\alpha(G)</tex> графа <tex>G(V,E)</tex> {{---}} <tex>\max \{|S|:S \in V</tex> и <tex>S </tex> независимо в G<tex>\}</tex>
}}
{{Лемма
{{Лемма
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \leqslant \fracdfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \fracdfrac{1}{4}}</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\fracdfrac{1}{2}\chi(\chi-1) \leqslant m \Rightarrow (\chi - \fracdfrac{1}{2})^2 \leqslant 2m + \fracdfrac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \leqslant \fracdfrac{1}{2} +\sqrt{2m + \fracdfrac{1}{4}} </tex>.
}}
 
== Нижняя оценка количеством ребер и количеством вершин ==
{{Лемма
|about = нижняя оценка Геллера
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> {{---}} произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами .Тогда, <tex>\fracdfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \chi(G) </tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
<tex>m \leqslant \fracdfrac{1}{2}n(n - 1) - \fracdfrac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \fracdfrac{n^2}{n^2 - 2m} \leqslant \fracdfrac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \fracdfrac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \fracdfrac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \leqslant \chi</tex>.
}}
 ==Смотри так жеСм. также==
*[[Хроматическое_число_планарного_графа|Хроматическое число планарного графа]]
Анонимный участник

Навигация