Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Верхние и нижние оценки хроматического числа

1699 байт добавлено, 03:32, 14 января 2013
Нет описания правки
}}
==Оценка связанная с внутренним устойчивым множеством Нижняя оценка числом внутренней устойчивости ==
{{Определение
{{Лемма
|about = нижняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>n/\alpha \le \chi(G)</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.Каждое из <tex>V_i</tex> {{---}} внутренне устойчивое множество (поскольку вершины множества покрашены в один цвет при правильной покраски графа <tex>G</tex>, следовательно , они попарно не смежны внутри множества ).
Заметим, что для произвольного <tex>i</tex>, <tex>|V_i| \le \alpha</tex> (т.к <tex>V_i</tex> внутренне устойчиво). То есть, <tex>\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| = n \le \chi \alpha </tex>, следовательно <tex>n / \alpha \le \chi</tex>.
}}
== Верхняя оценка количеством ребром ребер ==
{{Лемма
|about = верхняя оценка
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>m</tex> ребрами.Тогда, <tex>\chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}}</tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующей цвет соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>. Заметим, что между любыми двумя такими различными множествами существует хотя бы одно ребро (в противном случаи эти множества можно было бы покрасить в один цвет).
Тогда, <tex>\frac{1}{2}\chi(\chi-1) \le m \Rightarrow (\chi - \frac{1}{2})^2 \le 2m + \frac{1}{4} \Rightarrow \chi(G) \le \frac{1}{2} +\sqrt{2m + \frac{1}{4}} </tex>.
}}
== Нижняя оценка количеством ребер и количеством вершин ==
{{Лемма
|about = нижняя оценка Геллера
|statement= Пусть <tex>G(V,E)</tex> - произвольный связный неориентированный граф с <tex>n</tex> вершинами и <tex>m</tex> ребрами .Тогда, <tex>\frac{n^2}{n^2 - 2m} \le \chi(G) </tex>.
|proof=
Пусть, <tex>V_1,V_2...V_\chi</tex> множеств вершин окрашенных в соответствующие цвета при правильно покраски графа <tex>G</tex>.
<tex>m \le \frac{1}{2}n(n - 1) - \frac{1}{2}\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1) \Rightarrow \frac{n^2}{n^2 - 2m} \le \frac{n^2}{n^2 -n(n - 1) + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{n + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i| + \sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|(|V_i| - 1)} = \frac{n^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} = \frac{(\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|)^2}{\sum\limits^{\chi}_{i = 1}|V_i|^2} \le \chi</tex>.
}}
== Полезные материалы ==
* [http://www.ucdenver.edu/academics/colleges/CLAS/Departments/math/students/alumni/Documents/Student%20Theses/Mitchell_MSThesis.pdf Множество разных оценок для хроматических чисел]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Brooks'_theorem
Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел]
 
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Раскраски графов]]
50
правок

Навигация