105
правок
Изменения
м
Дмитрий Мурзин переименовал страницу Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины в [[Вершинная, рёб…
{{Определение
|definition=
'''Вершинной связностью''' <tex>\kappa</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}
{{Определение
|definition=
'''Реберной связностью''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G</tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.
}}
# Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G</tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \leqslant \delta </tex>.
# Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев.
##Если <tex>G</tex> {{- --}} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \kappa = \lambda = 0 </tex>.
##Если <tex>G</tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G</tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G=K_2</tex>.
##Наконец, предположим, что граф <tex>G</tex> содержит множество из <tex> \lambda \geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u</tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\kappa \lt \lambda</tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u</tex> или <tex>v</tex> приводит либо к несвязному, либо к тривиальному графу. В любом случае <tex> \kappa \leqslant \lambda</tex>.
Для нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.
Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{- --}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>.
Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]](например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).
Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>.
'''for''' <tex>s \in V:</tex>
'''for''' <tex>t \in V:</tex>
flow = find_flowfind_max_flow(s, t) <font color=darkgreen>// максимальный поток {{- --}} количество путей из <tex>s </tex> в <tex>t</tex> </font>
ans = min(ans, flow)
'''return''' ans
'''Оценка работы'''
Время работы равно <tex>V^2 \times O(find\_max\_flow)</tex>. При использовании [[Алоритм Эдмондса-Карпа|алгоритма Эдмондса-Карпа]] время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex>
== Нахождение вершинной связности ==
