Изменения

'''''Вершинной связностью''''' <tex>\varkappakappa</tex> графа <tex>G </tex> (англ. ''vertex-connectivity'') называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

'''''Реберной связностью''''' <tex>\lambda</tex> графа <tex>G </tex> (англ. ''edge-connectivity'') называется наименьшее количество ребер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

 == Связь между <tex>\varkappa</tex>вершинной, <tex>\lambda</tex> реберной связностью и минимальной степенью вершины ==Пускай минимальная степень вершины графа <tex>G </tex> обозначается буквой <tex>\delta</tex>. Тогда:

Для любого графа <tex>G </tex> справедливо следующее неравенство:<br/><tex>\varkappa kappa \leleqslant \lambda \le leqslant \delta </tex>

[[Файл:K5Ver_ed_coh_1.png|thumb|right|150x150px150px|Полный граф. <tex> \lambda = \delta = \varkappa kappa = 4</tex>]]1) # Проверим второе неравенство. Если в графе <tex>G </tex> нет ребер, то <tex> \lambda = 0 </tex>. Если ребра есть, то несвязный граф получаем из данного, удаляя все ребра, инцидентные вершине с наименьшей степенью. В любом случае <tex> \lambda \le leqslant \delta </tex>. <br/>2) # Чтобы проверить первое неравенство нужно рассмотреть несколько случаев. ##Если '''<tex>G''' </tex> {{--- }} несвязный или тривиальный граф, то <tex> \varkappa kappa = \lambda = 0 </tex>. ##Если <tex>G </tex> связен и имеет мост <tex>x</tex>, то <tex>\lambda = 1 </tex>. В последнем случае <tex> \varkappa kappa = 1 </tex>, поскольку или граф <tex>G </tex> имеет точку сочленения, инцидентную ребру <tex>x</tex>, или же <tex>G = K<sub>2K_2</subtex>. ##Наконец, предположим, что граф <tex>G </tex> содержит множество из <tex> \lambda \ge geqslant 2 </tex> ребер, удаление которых делает его несвязным. Ясно, что удаляя <tex>\lambda - 1 </tex> ребер из этого множества получаем граф, имеющий мост <tex>x = uv</tex>. Для каждого из этих <tex>\lambda - 1 </tex> ребер выберем какую-либо инцидентную с ним вершину отличную от <tex>u </tex> и <tex>v</tex>. Удаление выбранных вершин приводит к удалению <tex>\lambda - 1 </tex> (а возможно, и большего числа) ребер. Если получаемый после такого удаления граф не связен, то <tex>\varkappa < kappa \lt \lambda </tex>; если же он связен, то в нем есть мост <tex>x</tex>, и поэтому удаление вершины <tex>u </tex> или ''<tex>v'' </tex> приводит либок либо к несвязному, либо к тривиальному графу. в В любом случае <tex> \varkappa kappa \le leqslant \lambda</tex>.

Для любых натуральных чисел <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>a &le; \leqslant b &le; \leqslant c</tex>, существует граф <tex>G</tex>, у которого <tex>\varkappa kappa = a, \lambda = b</tex> и <tex>\delta = c </tex>|proof=[[Файл:LambdaKappaDeltaGraphVer_ed_coh_2.png|thumb|leftright|250x600px335px|Граф, в котором <tex> \delta = 4</tex>, <tex>\lambda = 3</tex>, <tex>\varkappa kappa = 2</tex>.]]Рассмотрим граф <tex>G</tex>, являющийся объединением двух полных графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex>, содержащих <tex>c + 1 </tex> вершину. Отметим <tex>b </tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_1</tex> и <tex>a </tex> вершин, принадлежащих подграфу <tex>G_2</tex>. Добавим в граф <tex>G </tex> <tex>b </tex> ребер так, чтобы каждое ребро было инцидентно помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_1</tex> и помеченной вершине, лежащей в подграфе <tex>G_2</tex>, причем не осталось ни одной помеченной вершины, у которой не появилось хотя бы одно новое ребро, инцидентное ей.Тогда:  # Поскольку <brtex>1) Поскольку b &le; \leqslant c</tex>, то было как минимум две непомеченные вершины, поэтому <tex> \delta= c</tex> = с, так как минимальные степени вершин графов <tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> была были равны <tex>c</tex>, а степени их вершин не уменьшались.<br>2) # Заметим, что между двумя вершинами графа <tex>G </tex> существует не меньше <tex>a </tex> вершинно-непересекающихся простых цепей, следовательно по [[теорема Менгера|теореме Менгера]] <tex>\varkappa kappa \geqslant a</tex> &ge; a. Однако если удалить из графа <tex>G </tex> помеченные вершины его подграфа <tex>G_2</tex>, то граф <tex>G </tex> потеряет связность. Значит, <tex>\varkappa kappa = a</tex> = a.<br>3) # Аналогично рассуждению пункта 2, легко убедится, что <tex>\lambda = b</tex> = b.

== Литература Нахождение реберной связности ==* ФДля нахождения реберной связности нужно перебрать все пары вершин <tex>s</tex> и <tex>t</tex>, найти количество непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> и выбрать минимум.Пусть он равен <tex>l</tex>. По утверждению, граф является [[k-связность#def_2|<tex>l</tex>-связным]], причем такое <tex>l</tex> {{---}} максимально (ведь мы явно нашли количество путей). А значит, по определению, реберная связность равна <tex>l</tex>. Для нахождения количества непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> воспользуемся алгоритмом нахождения максимального потока. Сопоставим каждому ребру пропускную способность, равную <tex>1</tex> и найдем максимальный [[Определение сети, потока #Определение потока |поток]] (например, [[Алгоритм Эдмондса-Карпа|алгоритм Эдмондса-Карпа]]).Он и будет равен количеству путей. Действительно, если провести декомпозицию потока, то получим набор реберно непересекающихся путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>, по которым поток неотрицателен и равен <tex>1</tex> (т.к. пропускная способность всех ребер равна <tex>1</tex>). А значит, если поток равен <tex>flow</tex>, то и количество путей равно <tex>flow</tex>. Харари  ''' Псевдокод алгоритма ''' '''function''' disjoint_paths_count(): '''int''' ans = INF '''for''' <tex>s \in V:</tex> '''for''' <tex>t \in V:</tex> flow = find_max_flow(s, t) <font color=darkgreen>// максимальный поток {{---}} количество путей из <tex>s</tex> в <tex>t</tex> </font> ans = min(ans, flow) '''return''' ans '''Теория графовОценка работы''' Время работы равно <tex>V^2 \times O(find\_max\_flow)</tex>. При использовании алгоритма Эдмондса-Карпа время равно <tex>V^2 \times O(V E^2)</tex> или <tex>O(V^3 E^2)</tex> == Нахождение вершинной связности ==Используя аналогичные утверждения и определения для вершинной связности придем к такому же алгоритму с тем отличием, что понадобится искать вершинно-непересекающиеся пути.Искать их можно тем же способом, если сопоставить каждой вершине пропускную способность, равную <tex>1</tex>.Для этого воспользуемся известным трюком: Разобьем каждую вершину <tex>v</tex> графа на две вершины <tex>v_1</tex> и <tex>v_2</tex>. Все ребра, которые входили в <tex>v</tex> будут входить в <tex>v_1</tex>. Все ребра, которые выходили из <tex>v</tex> будут выходить из <tex>v_2</tex>. Так же добавим ребро <tex>(v_1, v_2)</tex> с пропускной способностью <tex>1</tex>. [[Файл:Vertex-2vertex.png|300px|left|thumb|Иллюстрация]]<br clear="all"/> После этого для нахождения количества вершинно непересекающихся путей в исходном графе будем искать количество реберно непересекающихся в новом графе. Тем самым сведя задачу к нахождению реберной связности. ==См. также== *[[Теорема Менгера]]*[[Алгоритм Эдмондса-Карпа]]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A0%D0%BE%D0%B1%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%B0 Википедия {{---}} Теорема Роббинса] ==Источники информации== * [https://stugum.files.wordpress.com/2014/03/harary-graph-theory.pdf Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. /Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. -— М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.] * [http://alleng.org/d/comp/comp384.htm Дж. Клейнберг, Е. Тардос. Алгоритмы: разработка и применение. Классика Computers Science. 2016. - 296с383 c. ]